Лекции по физике 6 - страница 34

/dt, которая будет вносить вклад вместе с током J в создание магнитного поля. Так разные уравнения зацеп­ляются друг за друга, и мы должны попытаться найти решения для всех полей сразу.

Рассматривая уравнения Максвелла порознь, нелегко сразу получить решение. Поэтому сначала мы сообщим вам ответ, а затем уже проверим, действительно ли оно удовлетворяет уравнениям. Ответ: Поле В, которое мы вычислили, на самом деле создается прямо вблизи листа с током (для малых х). Так и должно быть, потому что если мы проведем крошечную петлю вокруг листа, то в ней не будет места для прохождения электрического потока. Но поле В подальше (для больших х) сначала равно нулю. Оно в течение некоторого времени остается нулевым, а затем внезапно включается. Короче говоря, мы включаем ток и не­медленно вблизи него включается магнитное поле с постоян­ным значением В; затем включенное поле В распространяется от области источника. Через некоторое время появляется одно­родное магнитное поле всюду, вплоть до некоторого значения х, а за ним оно равно нулю. Вследствие симметрии оно распространяется как в положительном, так и в отрицательном x-направлении.

Фиг.18.5. То же, что на фиг. 18.3 (вид сверху).

Поле Е делает то же самое. До момента t=0 (когда мы вклю­чаем ток) поле повсюду равно нулю. Затем, спустя время t, как Е, так и В постоянны вплоть до расстояния х = vt, а за ним равны нулю. Поля продвигаются вперед, подобно прилив­ной волне, причем фронт их движется с постоянной скоростью, которая оказывается равной с, но пока мы будем называть ее v. Изображение зависимости величины Е или В от х (как они ка­жутся в момент t) показано на фиг. 18.4, а. Если снова посмот­реть на фиг. 18.3 в момент t, то мы увидим, что область между x=±vt«занята» полями, но они еще не достигли области за ней. Мы снова подчеркиваем — мы предполагаем, что лист заряжен, а следовательно, поля Е и В простираются бесконечно далеко в у- и z-направлениях. (Мы не можем изобразить бес­конечный лист, поэтому мы показываем лишь то, что происхо­дит в конечной области.)

Теперь мы хотим проанализировать количественно то, что происходит. Чтобы сделать это, рассмотрим два поперечных разреза: вид сверху, если смотреть вниз вдоль оси у (фиг. 18.5), и вид сбоку, если смотреть назад вдоль оси z(фиг. 18.6). Начнем с вида сбоку. Мы видим заряженный лист, движущийся вверх; магнитное поле направлено внутрь страницы для +x и от стра­ницы для -х, а электрическое поле направлено вниз всюду, вплоть до x=± vt.

Посмотрим, согласуются ли такие поля с уравнениями Мак­свелла. Сначала нарисуем одну из тех петель, которыми мы пользовались для вычисления контурного интеграла, скажем прямоугольник Г_>2 на фиг. 18.6.

Фиг. 18.6. То же, что на фиг. 18.3 (вид сбоку).

Заметьте, что одна сторона прямоугольника проходит в области, где есть поля, а другая — в области, до которой поля еще не дошли. Через эту петлю проходит какой-то магнитный поток. Если он изменяется, должна появиться э. д. с. вдоль петли. Если волновой фронт движется, мы будем иметь меняющийся магнитный поток, поскольку поверхность, внутри которой существует поле В, непрерывно увеличивается со скоростью v. Поток внутри Г_>2 равен произведению В на ту часть поверхности внутри Г_>2) где есть магнитное поле. Скорость изменения потока (посколь­ку величина В постоянна) равна величине поля, умноженной на скорость изменения поверхности. Скорость изменения по­верхности найти легко. Если ширина прямоугольника Г_>2 равна L, то поверхность, в которой В существует, меняется как LvDtза отрезок времени Dt (см. фиг. 18.6). Скорость изме­нения потока тогда равна BLv. По закону Фарадея она должна быть равна контурному интегралу от Е вокруг Г_>2, который есть просто EL. Мы получаем равенство

(18.10)

Таким образом, если отношение Е к В равно v, то рассматри­ваемые нами поля будут удовлетворять уравнению Фарадея. Но это не единственное уравнение; у нас есть еще одно, связывающее Е и В:

(18.11)

Чтобы применить это уравнение, посмотрим на вид сверху, изображенный на фиг. 18.5. Мы уже видели, что это уравнение дает нам значение