Жизнеописание Л. С. Понтрягина, математика, составленное им самим - страница 47

_>n(x) в каждой точке х многообразия M^>k. Многообразие M^>k, в каждой точке которого задана ортонормальная система векторов, ортогональных к нему, я назвал оснащённым многообразием. В том случае, когда многообразие A представляет собой сферу S^>n+k, оснащённое многообразие M^>k однозначно определяет гомотопический класс отображений, из которого оно возникло при помощи точки p. От сферы S^>n+k легко перейти к евклидову пространству E^>n+k. Таким образом, проблему классификации отображений сферы S^>n+k на сферу S n я свёл к проблеме изучения оснащённых многообразий M^>k в евклидовом пространстве E^>n+k. Нужно было посмотреть, что делается с оснащённым многообразием M^>k, когда отображение f гладко деформируется. Это и было мною сделано.

Таким образом, я пришёл к проблеме изучения гладких многообразий M^>k, расположенных в евклидовом пространстве E^>n+k(заменяю здесь n на l) и для их изучения ввёл характеристические циклы многообразия M^>k, гомологические классы. Дам здесь их определение.

В евклидовом пространстве E^>k+1 проведём через некоторую точку O все k-мерные ориентированные плоскости размерности k и обозначим через H(k, l) многообразие, составленное из этих плоскостей. В каждой точке x многообразия M^>k проведём касательную к нему плоскость Т_>х. Обозначим через T(x) плоскость из многообразия H(k, l), параллельную плоскости T_>x. Таким образом, возникает отображение T многообразия M^>k в многообразие H(k, l). Это отображение я назвал тангенциальным отображением. Для многообразия H(k, l) я нашёл все циклы с точностью до гомологии. Если Z — некоторый цикл из H(k, l), то он высекает на многообразии T(M^>k) некоторый цикл Y, прообраз которого Q в многообразии М^>k и называется характеристическим циклом. Очень легко доказывается, что характеристические циклы не зависят от числа l при достаточно большом l и являются инвариантами гладкого многообразия M^>k. Здесь имеются, конечно, в виду циклы с точностью до гомологий, т.е. классы гомологий, поэтому в дальнейшем они стали называться классами Понтрягина, а не циклами. В дальнейшем характеристические классы стали предметом изучения многих математиков и играли большую роль в топологии. Первая же важная проблема, которая связана с ними, заключается в следующем: легко доказывается, что характеристические классы являются инвариантами гладкого многообразия M^>k; возникает вопрос, не являются ли они инвариантами самого топологического многообразия M^>k? Эту задачу я пытался решить, но не сумел.

Много лет спустя С. П. Новиков доказал, что если рассматривать характеристические классы над полем рациональных чисел, то они являются инвариантами топологического многообразия M^>k, т.е. не зависят от введённой на нём гладкости. Характеристические классы конечного порядка, напротив, не являются инвариантами топологического многообразия M^>k. Это было установлено и сыграло также существенную роль для решения некоторых важных задач. В частности, это обстоятельство было использовано для доказательства того, что на топологической сфере можно ввести различные гладкости, не эквивалентные между собой.

Связь между гомотопической классификацией отображений сферы S^>n+k на сферу S^>n и теорией гладких многообразий была установлена мною отнюдь не в 1936 году, а гораздо позже, когда я старался упростить доказательство, которое для k=1, 2 первоначально было чудовищно сложно, а также старался решить задачу классификации отображений для k≥3. Мне кажется, что характеристические циклы были построены мною ещё до войны, но первая публикация была дана только в 1942 году 14. Существенно упростить решение задачи для k=1 и k=2 мне удалось. Решить задачу для k≥3 не удалось, несмотря на все мои усилия.

Попытки решить эту задачу продолжались несколько лет. Точно так же несколько лет я занимался гладкими многообразиями, в частности оснащёнными, а также характеристическими классами.

Эта деятельность была закончена мною в начале 50-х годов и завершилась чтением курса лекций на эту тему. Затем была опубликована монография «Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий» в 1955 г. в «Трудах Математического института»