О моих исследованиях в топологии
Одновременно с написанием книжки «Непрерывные группы» я занимался и другими проблемами. Впрочем, для этого были более существенные причины. Об этом я расскажу, пожалуй, потом.
Так, в 1936 году мною была получена гомотопическая классификация отображений сферы S>n+1 на сферу S>n при n>2. Как я уже говорил, оказалось, что число классов отображений равно 2. Тогда же я занимался отображениями сферы S>n+2 на сферу S>n при n>2, но, сделав ошибку в вычислении, получил неверный результат, установив, что имеется лишь один класс отображений. В действительности же имеются два класса отображений, это я выяснил много лет спустя, когда дал полное изложение этой работы[34].
Окончив книжку, я все свои усилия направил на гомотопическую классификацию отображений одного пространства A на другое пространство B. В первую очередь надо было дать классификацию отображений сферы S>n+k на сферу S>n. Усилия, направленные на решение последней задачи, привели меня к изучению гладких многообразий. Хочу остановиться на этом подробнее, так как в этой области я получил важные результаты.
Два отображения f и g пространства A в пространство B называются гомотопными, если, непрерывно меняя отображение f , можно сделать его совпадающим с g. Проблема гомотопической классификации отображений стала центральной проблемой топологии на много лет. Она оказалась очень трудной даже для простейшего случая — для случая сфер. Если пространство B есть сфера S>n, то задачу можно локализовать следующим образом. Выберем на сфере S>n произвольную точку p и обозначим через H произвольно малую шаровую окрестность этой точки. Оказывается, что если два отображения f и g совпадают на H, то они гомотопны между собой. Говоря, что отображения f и g совпадают на H, я имею в виду следующее: f>–1(H), т.е. полный прообраз шара H при отображении f , совпадает с полным прообразом шара H при отображении g. То есть мы имеем равенство f>–1(H) = g>–1(H) = C. На множестве C отображения f и g совпадают между собой, т.е. при xÎC мы имеем f(x) = g(x). Это очень простое соображение легло в основу всех моих исследований.
Обозначим через q точку, противоположную точке p. Непрерывно растягивая шарик H вдоль его радиусов и одновременно сжимая пространство S>n\H в точку q, мы получим непрерывную деформацию всей сферы S>n. Применяя эту деформацию к отображениям f и g, мы убедимся, что в конце этой деформации отображения f и g перейдут в совпадающие. Таким образом, они гомотопны между собой.
В случае если пространство A — гладкое многообразие, локализацию следующим образом можно сделать дифференциальной, т.е. перейти к дифференциалам. Прежде всего, очевидно, что всякое непрерывное отображение гладкого многообразия A на сферу S>n можно аппроксимировать гладким отображением. Таким образом, достаточно рассматривать только гладкие отображения многообразия A на сферу S>n. Предположим далее, что размерность многообразия A больше или равна размерности сферы S>n. Тогда оказывается, что точку p на сфере S>n можно выбрать таким образом, чтобы функциональный определитель отображения f в каждой точке xÎf>–1(p)=M>k многообразия A, переходящей в точку p, был максимальным, т.е. равнялся n. Тогда полный прообраз точки p в пространстве A представляет собой гладкое многообразие размерности k, равной разности размерностей A и S>n. В точке p на сфере S>n выберем n ортогональных между собой единичных векторов u>1, ..., u>n. Обозначим через v>i(x) вектор пространства A, ортогональный к многообразию M>k в точке x и переходящий в вектор u>i.
Таким образом, в каждой точке x многообразия M>k построены n линейно независимых векторов v>1(x), ..., v>n(x). Ортонормируя систему векторов v>1(x), ..., v>n(x), мы получим ортонормированную систему векторов w>1(x), ...,
