Жизнеописание Л. С. Понтрягина, математика, составленное им самим (примечания)

Более подробно точка зрения Л. С. Понтрягина изложена в статье «О математике и качестве её преподавания» (журнал «Коммунист», 1980, № 14). См. с. 271–285 настоящего издания.

См. с. 271–285 настоящего издания.

Учебник А. В. Погорелова «Геометрия. Учебное пособие для 6–10 классов средней школы» неоднократно издавался в издательстве «Просвещение» с 1981 г.

В 1984 г. была издана книга: Потапов М. К., Никольский С. М. Алгебра: пособие для самообразования. (2-е и 3-е издания в 1990 и 1994 гг.)

Биографические сведения о А. Н. Колмогорове см. в книге: «Колмогоров в воспоминаниях» (М.: Физматлит, 1993).

См. работу «О непрерывных алгебраических телах». — В кн.: Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. I. — М.: Наука, 1988.

Книга «Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий» была опубликована в 1955 г. (М.: изд-во АН СССР), второе издание в 1976 г., третье — в 1985 г. Опубликована также в кн.: Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. I. — М.: Наука, 1988.

См. статью: Лахтин Л. К. Высшая математика для начинающих. — В кн.: Энциклопедия Гранат, изд. VII, т. 12, с. 66

См. работы: Понтрягин Л. С. К теореме двойственности Александера; К теореме двойственности Александера. Второе сообщение. — В кн.: Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. I. — М.: Наука, 1988

См. Александров П. С. Страницы автобиографии. — УМН, 1979, т. 34, вып. 6, с. 219–249; 1980, т. 35, № 3, с. 241–278.

Как было отмечено выше в тексте «Жизнеописания...», первая из этих работ не была опубликована.

Три следующих опубликованы в кн.: Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. I. — М.: Наука, 1988. Это работы: «О теореме двойственности Александера», «О теореме двойственности Александера. Второе сообщение», «Об алгебраическом содержании топологических теорем двойственности».

См. также статью Л. С. Понтрягина «О моих работах по топологии и топологической алгебре» (с. 243–260 наст. издания).

В 1956–60 гг. Л. С. Понтрягин опубликовал цикл работ о дифференциальных уравнениях с малым параметром. См. библиографию работ Л. С. Понтрягина (с. 224–236 наст. издания).

Некоторые из этих работ опубликованы в кн.: Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. II. — М.: Наука, 1988.

См. работу «О непрерывных алгебраических телах». — В кн.: Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. I. — М.: Наука, 1988.

Подробный обзор решения 5-й проблемы Гильберта см. в книге: «Проблемы Гильберта» (М.: Наука, 1969) и в комментариях к книге: Д. Гильберт. Избранные труды. Т. II. — М.: Факториал, 1998.

Книга «Непрерывные группы», написанная в 1937 г. до сих пор является основополагающей монографией по топологической алгебре. Она выдержала четыре издания у нас в стране (в 1938, 1954, 1973, 1984 и 1988 гг.), несколько изданий на английском языке (в 1939, 1946 гг. — Princeton University Press, в 1966 г. — Gordon and Breach, 1978 — Mir), переведена на немецкий, польский и китайский языки.

См. работу «Об одной фундаментальной гипотезе в теории размерности» в кн.: Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. I. — М.: Наука, 1988.

По-видимому, имеется в виду работа Pontriagin L., Tolstowa G. Beweis des Mengerschen Einbettungssatzes. — Math. Ann., 1931, Bd. 105, H. 5, S. 734–745.

См. работу Pontriagin L., Frankl F. Ein Knotensatz mit Anwendung auf die Dimensionstheorie. — Math. Ann., 1930, Bd. 102, H. 5, S. 785–789.

К задаче о вычислении гомотопических групп сфер Л. С. Понтрягин неоднократно возвращался в период 1936–1955 гг. (См. библиографию работ Л. С. Понтрягина на с. 224–236 наст. издания). Созданная им теория оснащённых многообразий оказала большое влияние на развитие топологии. См., например, книгу «В поисках утраченной топологии» (М.: Мир, 1989).

См. также книгу «Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий» (М.: Наука, 1985) и статью «О моих работах по топологии и топологической алгебре» (с. 243–260 наст. издания).

Первая работа по теории характеристических классов была опубликована в 1942 г. («Характеристические циклы многообразий», ДАН СССР, 1942, т. 35, № 2, с. 35–39.) Дальнейшие работы см. в библиографии работ Л. С. Понтрягина (с. 224–236 наст. издания). См. также «О моих работах по топологии и топологической алгебре» (с. 243–260 наст. издания).

О характеристических классах Понтрягина и их применениях в топологии см., например, книгу Дж. Милнора, Дж. Сташефа «Характеристические классы» (М.: Мир, 1979) и обзор С. П. Новикова «Топология» (в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 12. — М.: ВИНИТИ, 1986).

См. работу «Об алгебраическом содержании топологических теорем двойственности» (в кн.: Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. I. — М.: Haука, 1988) и её обсуждение в статье «О моих работах по топологии и топологической алгебре» (с. 243–260 наст. издания).

По-видимому в это время была опубликована «Декларация инициативной группы по реорганизации математического общества», подписанная Люстерником, Шнирельманом, Гельфондом, Понтрягиным и Некрасовым.

Проблема Гольдбаха формулируется следующим образом: всякое ли целое число, большее 6, можно представить в виде суммы не более трёх простых чисел? Л. Эйлер показал, что для решения этой проблемы достаточно доказать, что каждое чётное число есть сумма двух простых. В 1930 г. Л. Г. Шнирельман доказал, что всякое целое число, большее 1, есть сумма не более чем 800 000 простых чисел.

См. работу: Lefschetz S. Intersection and transformations of complexes, and manifolds. — Trans. Amer. Math. Soc., 1926, vol. 28, p. 1–49.

См. работу «О динамических системах, близких к гамильтоновым» (в кн.: Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. II. — М.: Наука, 1988).

См. также работы этого времени: «О статистическом рассмотрении динамических систем» (совместно с А. А. Андроновым и А. А. Виттом) и «Грубые системы» (совместно с А. А. Андроновым). Опубликовано в кн.: Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. II. — М.: Наука, 1988.

И. А. Вышнеградский (1831–1895 гг.) — выдающийся русский учёный в области техники. Одно время был министром финансов.

В конце прошлого столетия регулятор Уатта паровой машины в результате ряда конструктивных усовершенствований перестал действовать. Вышнеградский дал такую математическую идеализацию его, которая выяснила причины этого явления и дал практические рекомендации для устранения этого дефекта. Оказалось — достаточно повысить трение! Сама теория Вышнеградского проста до чрезвычайности, а практические выгоды от неё очень важны. (Прим. Л. С. Понтрягина.)

См., например, Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1982, с. 75–93.

Книга А. А. Андронова, А. А. Витта и С. Э. Хайкина «Теория колебаний» была опубликована в 1937 г. (без упоминания об авторстве А. А. Витта), второе издание в 1959 г., третье — в 1981 г.

Тогда мы ещё не знали, что грядёт 1937 год. Я описываю события так, как я и мои товарищи воспринимали происходящее тогда — в 1936 году. Позже я понял, что Советскому правительству нужно было разогнать школу русского математика Н. Н. Лузина. Уничтожить его самого они не решились. (Прим. Л. С. Понтрягина.)

Точное название статьи «О врагах в советской маске» («Правда», 3.7.1936). За день до этого была опубликована статья «Ответ академику Лузину» («Правда», 2.7.1936); далее — статья «Традиции раболепия» («Правда», 9.7.1936). Публикациями этих статей было положено начало «делу Лузина».

В настоящий момент готовится публикация книги «Дело академика Лузина. Сборник материалов». [«Дело академика Николая Николаевича Лузина» (СПб.: РХГИ, 1999. — 312 с.) — E.G.A.]

Воспоминания о «Лузитании» см. в книге «Колмогоров в воспоминаниях» (М.: Физматлит, 1993) и цитированных выше воспоминаниях П. С. Александрова. См. также воспоминания Л. А. Люстерника «Молодость московской математической школы» (УМН, 1967, т. 22, №№ 1, 2, 4 и т. 25 № 4).

Отчет об этом заседании был опубликован в журнале «Фронт науки и техники» за 1936 г.

См. работу «Гомотопическая классификация отображений (n+2)-мерной сферы в n-мерную. Опубликовано в кн.: Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. I. — М.: Наука, 1988.

Книга «Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий» была опубликована в 1955 г. (М.: изд-во АН СССР), второе издание в 1976 г., третье — в 1985 г. Опубликована также в кн.: Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. I. — М.: Наука, 1988.

См. работу 1942 г. «О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций» и добавление к ней, написанное в 1953 г. Опубликовано в кн.: Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. II. — М.: Наука, 1988.

См. работу «Эрмитовы операторы в пространстве с индефинитной метрикой». Опубликовано в кн.: Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. II. — М.: Наука, 1988.

После этой основополагающей работы теория самосопряжённых операторов в пространстве с индефинитной метрикой получила развитие в работах Крейна, Лангера и др. (см. монографию: Азизов Т. Я., Иохвидов И. С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. — М.: Наука, 1986). Эта теория находит самые разнообразные применения в дифференциальных уравнениях, теории колебаний и волноводов, оптимальном управлении и др.

Книга «Основы комбинаторной топологии» была издана в 1947 г., второе издание в 1976 г., третье — в 1986 г.; переведена на ряд иностранных языков.

Результаты Рохлина по топологии подробно обсуждаются в книге «В поисках утраченной топологии» (М.: Мир, 1989). Там же приведена библиография работ В. А. Рохлина.

Основные работы Л. С. Понтрягина о теории дифференциальных уравнений с малым параметром приведены в книге: Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. II. — М.: Наука, 1988.

О работах Л. С. Понтрягина в области дифференциальных игр см. работу: Никольский С. М. О работе Понтрягина в области линейных дифференциальных игр преследования. — В кн.: Никольский С. М. Первый прямой метод Понтрягина в дифференциальных играх. — М.: МГУ, 1984.

Принцип максимума Понтрягина получил широчайшее применение в технике. В качестве примера, приведём здесь справку, выданную ЦАГИ Л. С. Понтрягину.

Применение принципа максимума и теории дифференциальных игр в современной механике полёта

Принцип максимума и теория дифференциальных игр Л. С. Понтрягина нашли широкое и важное применение в следующих работах, проведённых в ЦАГИ.

1. Исследование и выбор оптимальных траекторий, оптимальных параметров и разработка методов оптимизации характеристик летательных аппаратов (ЛА) различного назначения:

⚫ оптимальное пространственное выведение;

⚫ оптимальное выведение на орбиту искусственных спутников Земли, Луны и планет;

⚫ оптимальное маневрирование ЛА, в том числе их стыковка;

⚫ стабилизация и оптимальное управление ориентацией ЛА;

⚫ оптимальные межпланетные перелёты, в том числе с двигателями малой тяги.

2. Решение задач динамики полёта и управления входом в атмосферу:

⚫ исследование возможности полёта ЛА со скоростями входа, превышающими вторую космическую (обеспечение коридора входа, выдерживание ограничений по перегрузке, тепловым и температурным режимам);

⚫ оптимальное выведение на орбиту искусственного спутника планеты (в том числе Марса) с использованием аэродинамического торможения в атмосфере;

⚫ оптимальное управление боковой дальностью

⚫ построение зон достижимости и оптимальное пространственное движение в заданную точку земной поверхности.

3. Исследование оптимальных траекторий и оптимальных режимов полёта самолёта:

⚫ построение оптимальных траекторий и режимов набора высоты, в том числе для рекордных полётов по высоте и скороподъёмности;

⚫ исследование оптимальных пространственных траекторий высокоманёвренных самолётов;

⚫ исследование оптимальных взлётно-посадочных режимов, в том числе с минимизацией шума, создаваемого самолётом на местности.

4. Разработка методов исследования игровых задач механики полёта самолётов:

⚫ игровые задачи преследования–уклонения;

⚫ задачи управления в условиях неполной информации;

⚫ задачи идентификации и наблюдения в механике полёта на основе минимаксных критериев точности.

Кроме того, идеи принципа максимума проникли в ряд нетрадиционных областей управления и стимулировали развитие следующих научно-технических направлений:

⚫ численные методы оптимизации (методы поиска экстремума функции многих переменных на основе различной информации о функции);

⚫ методы аппроксимации, интерполяции и сглаживания функции и их приложения к задачам аналитического описания геометрии внешних форм летательных аппаратов, автоматизация изготовления аэродинамических моделей на станках с ЧПУ (числовым программным управлением) и др. актуальным и перспективным задачам разработки систем автоматизации проектирования летательных аппаратов (САПР ЛА);

⚫ разработка методов построения законов и систем управления, позволяющих реализовать преимущества оптимальных режимов и оптимальных траекторий;

⚫ методы оптимального управления аэродинамическими трубами и др. Многие из рассмотренных выше вопросов входят в программы спецкурсов, читаемых на кафедре механики полёта в МФТИ.

Заместитель начальника ЦАГИ, член-корреспондент АН СССР Г. С. Бюшгенс

Книга В. Г. Болтянского, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко и Л. С. Понтрягина «Математическая теория оптимальных процессов» была опубликована в 1961 г., переиздавалась в 1969, 1976 и 1983 гг. Переведена на ряд иностранных языков.

В 1989 г. (М.: Наука) вышла книга Л. С. Понтрягина «Применение принципа максимума в оптимальном управлении», содержащая основные результаты коллективной монографии. Переиздана в 1998 г. (Принцип максимума. М.: Фонд математического образования и просвещения).

Первое издание книги Болтянский В. Г. «Математические методы оптимального управления» было опубликовано в 1966 г., второе — в 1969 г.

См. работу «Оптимальные процессы регулирования» (УМН, 1959, т. 14, № 1, с. 3–20).

Книга Л. С. Понтрягина «Обыкновенные дифференциальные уравнения» издавалась на русском языке в 1961, 1965, 1970, 1974 и 1982 гг. Переведена на английский, китайский, японский, немецкий, болгарский, польский и испанский языки.

В 1975 г. за эту книгу Л. С. Понтрягину была присуждена Государственная премия СССР.

На русском языке опубликованы сборники докладов на математических конгрессах: Международный математический конгресс в Амстердаме 1954 г.: Обзорные доклады (М.: Физматгиз, 1961); Международный математический конгресс в Эдинбурге 1958 г.: Обзорные доклады (М.: Физматгиз, 1962); Труды международного конгресса математиков. Москва, 1966 (М.: Мир, 1968); Международный конгресс математиков в Ницце, 1970: Доклады советских математиков (М.: Наука, 1972).

На русском языке опубликована книга Р. Айзекса «Дифференциальные игры» (М.: Мир, 1967).

См. книгу Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.

Первое издание книги Я. Б. Зельдовича «Высшая математика для начинающих» было опубликовано в 1960 г., пятое — в 1970-м.

Уместно привести отрывок из предисловия Я. Б. Зельдовича к пятому изданию книги:

«Уже в заглавии книги выражена задача — дать читателю первое представление о дифференциальном и интегральном исчислении и, применяя эти методы к важнейшим разделам физики, показать значение и силу высшей математики...

За годы, прошедшие после первого издания (1960 г.), отшумели дискуссии, в которых автора обвиняли в математической нестрогости и чуть ли не в развращении молодёжи приблизительным, легкомысленным.

В сущности сталкивались два различных подхода к обучению.

Во многих учебниках изложение ведётся в форме, напоминающей диспут двух учёных. Учащийся представляется как противник, выискивающий всевозможные возражения. Педагог последовательно, строго логически разбирает эти возражения одно за другим и неопровержимо доказывает правильность своих положений.

В предлагаемой книге учащийся рассматривается как друг и союзник, который готов поверить педагогу или учебнику и хочет применить к природе, к технике те математические приёмы, которые ему предлагают. Понимание приходит в результате анализа примеров и применений. В строго логическом подходе вопрос о значении и пользе изучаемых теорем остается в тени. В предлагаемой книге на переднем плане показаны именно математические идеи и связь их с изучением природы.

Может быть, недостаточное внимание к строгим доказательствам есть проявление потребительного подхода к математике со стороны автора-физика? Мне кажется, что это не так; продвижение математики вперёд совершается также с помощью интуиции, в терминах общих идей, попросту говоря — с помощью вдохновения, а не холодного расчёта. Только потом работа обращается в броню формул и цепь строгих доказательств; в учебниках часто оказываются запрятанными, затушеванными идеи, вдохновлявшие творцов.

Восьмидесятилетний патриарх современной математики Рихард Курант писал в 1964 году, что очень долго математики принимали геометрию Евклида за образец строгого аксиоматического подхода, строгой логической дедукции (вывода). Но вот что пишет дальше Курант:

"Упор на этот [аксиоматический, логический] аспект полностью дезориентирует того, кто предположит, что созидание, воображение, сопоставление и интуиция играют только вспомогательную роль в математическом творчестве и в настоящем понимании.

В математическом образовании действительно дедуктивный способ, начинающий с догматических аксиом, позволяет быстрее обозреть большую территорию. Но конструктивный способ, идущий от частного к общему и избегающий догматического принуждения, надёжнее ведёт к самостоятельному творческому мышлению".

Итак, воображение и интуицию Курант ставит на первое место!

Пресловутое противопоставление лириков и физиков (а заодно и математиков) придумано поэтом Б. Слуцким, т.е. "лириком". В математике, как и в других естественных науках, больше поэзии, чем думают профессионалы-лирики. История науки показывает, что хорошая математика имеет пророческий дар: математический анализ известного открывает путь дальше, в новые неизвестные области, ведёт к созданию новых физических понятий.

В "Высшей математике для начинающих" я стремился к конструктивному подходу, к выявлению смысла и цели математических понятий, стремился хотя бы отчасти передать дух того героического периода, когда эти понятия рождались.»

См. Берс Л. Математический анализ. Т. 1, 2. — М.: Высшая школа, 1975.

См. Пуанкаре А. О науке. — М. Наука, 1983.

Вопрос о приоритете неоднократно рассматривался в научной литературе. Различные подходы к этому вопросу изложены в книгах: «Принцип относительности. Сборник работ по специальной теории относительности» (составитель А. А. Тяпкин) М.: Атомиздат, 1973; Miller A. I. Albert Einstein's special theory of relativity. Emergence (1905) and early interpretation (1911). — Addison–Wesley Publ. Comp., 1981.

См. «Успехи математических наук», 1978, т. 33, № 6.

См. «Успехи математических наук», 1978, т. 33, № 6 и с. 261–270 наст. издания.