Том 35. Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение - страница 23

Последний вариант можно сразу же исключить из рассмотрения: применив закон сокращения к равенству а^>2 = а, получим, что а = е, но мы уже отмечали, что а и е отличаются. Следовательно, существует всего одна группа второго порядка.

Группа второго порядка.

ЛЕВИ-СТРОСС: Я кое-что не понял: почему существует всего одна группа второго порядка? Ведь я могу заменить элемент а чем угодно.

ВЕЙЛЬ: Но таблица умножения не изменится. Важно не то, как выглядят элементы множества, а то, как они связаны между собой. Вспомните вашу историю с одуванчиком. Перестановки множества {1, 2, 3} не имеют ничего общего с преобразованиями, которые оставляют треугольник неизменным, но, как мы уже говорили, элементы обоих множеств можно объединить в пары так, что групповая операция будет корректной. С точки зрения структуры две эти группы будут неразличимы, изоморфны. Они подобны двум различным воплощениям одной и той же идеи

60

Платона — группы шестого порядка, отношения между элементами которой приведены в таблице. Понимаете?

ЛЕВИ-СТРОСС: Следовательно, существует всего одна «идея Платона» о группе третьего порядка?

ВЕЙЛЬ: Да, всего одна.

ЛЕВИ-СТРОСС: Дайте мне попробовать. Группа третьего порядка содержит е и два других элемента а и b, все ее элементы различны: G = {е, а, b}. Нам известно, что элементы группы связаны следующими отношениями: е * е = е, е*а = а*е = а и е*b = b*е = b. Попробуем вычислить значение а^>2. Так как это элемент группы, допустимы всего три варианта: a^>2 = е, a^>2 = а и a^>2 = b. Тем не менее мы вновь можем исключить из рассмотрения а^>2 = а — в этом случае по закону сокращения элемент а будет равен нейтральному элементу. Остается два варианта: а^>2 = е и а^>2 = b. Но это означает, что существуют две разновидности групп третьего порядка!

ВЕЙЛЬ: Ваши рассуждения следует немного уточнить. Допустим, что а^>2 = е.

Тогда таблица, описывающая эту группу, будет начинаться так:

Мы уже доказали, что таблица умножения группы — это латинский квадрат, поэтому в каждом столбце и каждой строке таблицы должны быть записаны все элементы группы. Во второй строке уже записаны а и е, следовательно, в третьей ячейке этой строки может находиться только b, но тогда в третьем столбце b будет записано дважды. Эту таблицу нельзя дополнить так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце были записаны все элементы группы. Следовательно, таблица не может описывать группу, и вариант a^>2 = е исключен.

ЛЕВИ-СТРОСС: Таким образом, остается всего один вариант: a^>2 = b. Очень интересно! Следовательно, мы можем записать группу так: G = {е, а, a^>2}. Верно?

ВЕЙЛЬ: Осталось указать, каким будет результат операции над а и a^>2, то есть каким будет значение a^>3. Найти его очень просто: так как элемент a^>3 принадлежит группе, он может равняться только е, а или a^>2. Тем не менее, если бы a^>3 был равен одному из двух последних элементов, то, применив закон сокращения один или два

61

раза, мы получили бы, что a^>3 — нейтральный элемент. Поскольку это не так, у нас остается единственный вариант: а^>3 = е. Все группы третьего порядка изоморфны.

Эту группу мы уже видели в нашем примере с преобразованиями треугольника. Если вы внимательно посмотрите на составленную нами таблицу умножения, то увидите, что ее часть полностью совпадает с группой третьего порядка. Иногда внутри групп содержатся другие, более мелкие группы, образованные частью элементов исходной группы. Они называются подгруппами.

Подгруппа третьего порядка.

Такие группы, образованные степенями одного и того же элемента, называются циклическими, а сам элемент называется порождающим. Для произвольной группы G семейство порождающих элементов — это конечное множество элементов группы, на основе которых можно получить все остальные ее элементы. К примеру, поворот R и симметрия S — порождающие элементы группы преобразований треугольника. Чтобы лучше понять, что такое циклические группы, представьте себе циферблат часов. Каждые 12 часов стрелка вновь возвращается в исходное положение, поэтому при взгляде на часы нельзя определить, прошло какое-то время или нет.