Том 35. Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение - страница 22
Теперь можно использовать свойство ассоциативности и сгруппировать элемент а и обратный ему. Так как a>-1 * а равно е, то, с одной стороны,
а>-1 * а * b = = (a>-1 * а) * b = е * b = b,
с другой стороны,
a>-1*а*с = (a>-1*а)*с = е*с = с,
поэтому обязательно будет выполняться соотношение b = с. Если исходное равенство будет записано не в виде a*b = a*c, а в виде b * а = с * а, достаточно будет провести аналогичные рассуждения, но приписать обратный элемент не слева, а справа.
58
ЛЕВИ-СТРОСС: А для чего нужно это свойство?
ВЕЙЛЬ: Оно, в частности, позволяет доказать, что таблица умножения конечной группы — это латинский квадрат. Напомню: латинский квадрат — это таблица чисел, в каждой строке и в каждом столбце которой записаны все элементы группы.
Обозначим их через а>1 а>2... а>n. Приведем доказательство для второго столбца таблицы; для любого другого столбца оно будет аналогичным. Какие элементы записаны во втором столбце? Те, что определяются умножением а>2 на все элементы группы, то есть а>2 * а>1, а>2 * a>2, а>2 * а>3 ... и так далее до а>2 * а>n. Допустим, что два выражения из этого списка равны, то есть существуют два индекса j и k такие, что а>2 * а>j = а>2 * a>k. Так как а>2 приводится в обеих частях выражения, по закону сокращения имеем а>j = a>k. Таким образом, в этом столбце нет двух одинаковых элементов!
Но так как группа состоит из n элементов, а в столбце таблицы нужно записать n неповторяющихся элементов, то в этом столбце будут записаны все элементы группы! Понимаете?
ЛЕВИ-СТРОСС: Для строк это свойство доказывается аналогично — достаточно поменять множители местами.
ВЕЙЛЬ: Вы определенно делаете успехи, господин Леви-Стросс. Мне кажется, вы готовы ко встрече с новыми группами. Помните, совсем недавно я говорил, что групповая операция на множестве из трех элементов определяется единственным образом? Теперь я объясню, почему это так, но прежде чем изучить случай с тремя элементами, рассмотрим группы порядка 1 и 2. Я уже объяснял, что такое порядок группы? По-моему, нет. Для конечных групп порядком называется число элементов группы.
ЛЕВИ-СТРОСС: Но мы уже дали порядку другое определение, не так ли?
ВЕЙЛЬ: И да, и нет. В примере с преобразованиями треугольника я говорил, что R имеет порядок, равный трем, так как три поворота фигуры на 120°, выполненные последовательно, не изменяют ее. В общем случае порядок элемента равен n, если, выполнив операцию над этим элементом n раз (или возведя его в степень n), мы получим тождество. Вам может показаться, что это определение не имеет ничего общего с предыдущим, но сейчас я продемонстрирую, что это не так.
Рассмотрим произвольный элемент группы, например а. Мы можем составить группу степеней а, то есть <а> = {а, а>2, а>3...}, где а>2 — сокращенное обозначение а * а, а>3 обозначает а * а * а и так далее. Допустим, что а имеет порядок n в соответствии с первым определением, то есть а>n — нейтральный элемент группы. Тогда перечень степеней остановится на а>n = е и затем начнется сначала, так как
а>n+1 = а>n * а = е*а = а, а>n+2 = а>2
и так далее. На самом деле множество будет содержать
59
всего n элементов: <а> = {а, а>2 ... а>n = е}. И это непростое множество: <а>, в свою очередь, является группой: оно содержит нейтральный элемент, результат операции над двумя степенями а всегда равен степени а, и элемент а>n-i является обратным для а>i. Следовательно, порядок элемента — это порядок множества, состоящего из его степеней. Это новое определение носит более общий характер, чем первое.
Впрочем, интереснее другое. Я предлагаю вам поупражняться в различных действиях над группами и посмотреть, как выглядят группы наименьшего порядка.
В определении группы мы указали, что она обязательно должна содержать нейтральный элемент, поэтому группа не может быть пустой — она всегда будет содержать как минимум нейтральный элемент. Если порядок группы равен единице, она не может содержать других элементов, поэтому будет выглядеть так: G = {е}. Посмотрим, как выглядят группы из двух элементов. Они должны иметь вид G = {е, а}, где е — нейтральный элемент, а — другой элемент, отличный от е. По определению, а*е = е*а = а, а также е * е = е. Следовательно, чтобы полностью определить эту группу, достаточно найти значение а
