Том 35. Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение - страница 21

которые, как мы только что показали, обозначают R и S соответственно, то получим следующую перестановку:

которая соответствует RS. Перестановки и преобразования треугольника в точности соответствуют друг другу! С точки зрения структуры группа преобразований, оставляющих треугольник неизменным, идентична симметрической группе S_>3 Говорят, что эти две группы изоморфны.

56

В общем случае группы G и Н называются изоморфными, если существует функция f, которая сопоставляет каждому элементу G некий элемент Н так, что выполняются три следующих условия:

1) различным элементам соответствуют различные отображения;

2) любой элемент Н является отображением некоторого элемента G;

3) функция f удовлетворяет определению групповой операции, а именно: если мы выполним операцию над элементами g_>1 и g_>2 множества G, после чего найдем отображение ее результата или же если мы сначала найдем отображения f(g_>1) и f(g_>2), после чего выполним операцию над ними, то полученные результаты будут одинаковы[5].

ЛЕВИ-СТРОСС: Прекрасно, что дальше?

ВЕЙЛЬ: Аксиомы, определяющие структуру группы, можно использовать при доказательстве теорем, которые будут верны для любых групп при соблюдении необходимых условий. В частности, эти теоремы будут верны для нашей группы преобразований треугольника! Пункт 2 определения группы гласит, что существует нейтральный элемент е такой, что равенство а*е = е*а = а верно для любого а, и в определении не указывается, сколько элементов группы обладают этим свойством. Но в пункте 3 определения подразумевается, что он единственный — в противном случае потребовалось бы уточнить, какому из нейтральных элементов равна композиция произвольного элемента и обратного ему. Докажем, что нейтральный элемент является единственным. Допустим, что существуют два нейтральных элемента, е_>1 и е_>2. Требуется доказать, что е_>1 = е_>2. Рассмотрим произведение е_>1 * е_>2.

С одной стороны, е_>1 — нейтральный элемент, поэтому он не изменяет значение элемента, записанного слева от него. Следовательно, е_>1 * е_>2 = е_>2. С другой стороны, е_>2 — также нейтральный элемент, следовательно, при умножении любого элемента на е_>2 этот элемент не изменится. Таким образом, е_>1 * е_>2 = е_>1 Мы доказали, что е_>1 * е_>2 одновременно равняется е_>1 и е_>2, следовательно, е_>1 и е_>2 должны быть равны.

ЛЕВИ-СТРОСС: Обратные элементы также будут единственными?

57

ВЕЙЛЬ: Конечно! Как и раньше, предположим, что существует два элемента b_>1 и b_>2 такие, что а*b_>1 = b_>1*а = е и а*b_>2 = b_>2*а = е. Получим, что а * b_>1 = а * b_>2 так как обе части равенства в свою очередь равны е. Это равенство по-прежнему будет корректным, если мы умножим обе его части на b_>1 Получим

b_>1 * а * b_>1 = b_>1 * а * b_>2

Напомню, что в произведении трех элементов скобки можно расставить как угодно. Так,

b_>1 * а * b_>1 = (b_>1 * а) * b_>1 = е * b_>1 = b_>1

поскольку b_>1* а = е, где е — нейтральный элемент. Аналогично,

b_>1 * а * b_>2 = (b_>1 * а) * b_>2 =e*b_>2 = b_>2

Так как оба выражения равны, имеем: b_>1 = b_>2 В силу этого свойства элемент b можно считать обратным а и записать b = а^>-1

Я очень рад, что вы задали этот вопрос, поскольку при ответе я упомянул одно утверждение, которое нам очень пригодится в будущем. Обратите внимание, что из равенства а * b_>1 = а * b_>2 мы вывели, что b_>1 = b_>2 Это свойство общее для всех групп: если результаты умножения двух элементов на третий элемент (в том же порядке) совпадают, то два исходных элемента равны.

ЛЕВИ-СТРОСС: Но как это доказать?

ВЕЙЛЬ: Очень просто: достаточно повторить действия, которые мы уже выполнили. Допустим, дано равенство а * b = а * с. Согласно аксиоме теории групп под номером 3 для элемента а существует обратный элемент, который к тому же будет единственным. Обозначим его через a^>-1. Равенство по-прежнему будет верным, если мы припишем в каждую его часть слева a^>-1. Имеем:

a^>-1 * а * b = a