Пятьсот двадцать головоломок - страница 108
439. Можно составить следующую таблицу:
440. Из таблицы можно сразу определить, что Англия победила Ирландию и сыграла вничью с Уэльсом. Поскольку А сыграла в этих матчах с общим счетом 2 : 0, то она должна была победить со счетом 2 : 0, а вничью сыграть со счетом 0 : 0. Таким образом, нам все известно про А и остается только определить результаты трех матчей: У с И, Ш с И и Ш с У. Шотландия пропустила только 1 гол от У или И. И забила только 1 гол в ворота У или Ш. Допустим, что в ворота Ш. Тогда У не забил ни одного гола в ворота Ш. Но У всего забил 3 гола; следовательно, все они были забиты в ворота И. Получается, что в ворота И было забито 6 голов: 2 — А, 3 — У (если принять, что И забила гол в ворота Ш) и оставшийся гол — Ш. Но поскольку мы приняли, что И забила 1 гол в ворота Ш, матч между этими командами должен был закончиться вничью. Однако из таблицы видно, что в этом матче выиграла Ш и, следовательно, И не могла забить гол в ворота Ш. Таким образом, гол в ворота Ш забил У. А поскольку У всего забил 3 гола, то остальные 2 были забиты в ворота И, которая свой единственный гол забила в ворота У. Окончательно мы получаем, что Ш выиграла у У со счетом 2 : 1, у И со счетом 2 : 0, а У выиграл у И со счетом 2 : 1.
441. Пусть 8 делений разбивают 33-сантиметровую линейку на 9 частей длиной 1, 3, 1, 9, 2, 7, 2, 6, 2 см. Тогда с их помощью можно измерить любое целое число сантиметров от 1 до 33 см. Разумеется, сами деления находятся на расстояниях 1, 4, 5, 14, 16, 23, 25 и 31 см от одного из концов линейки. Другим решением будет 1, 1, 1, 1, 6. 6, 6, 6, 5 см.
Эта головоломка имеет по крайней мере 16 решений. Я нашел правило, с помощью которого можно определять минимальное число делений для линеек любой длины и выписывать некоторые решения, однако общий закон, которому подчиняются все решения, еще не найден.
[Хотя общего правила не найдено до сих пор, все же с того момента, как Дьюдени поставил эту задачу, отмечен существенный прогресс. Обнаружено, что восьми делений достаточно также и для линейки в 36 см. — М. Г.]
442. Если расположить коттеджи по кругу через промежутки 1, 1, 4, 4, 3, 14 км, то для любого целого числа километров от 1 до 26 включительно найдутся два коттеджа, отстоящие друг от друга на такое расстояние.
[Эта задача, очевидно, представляет собой разновидность предыдущей. Как и ранее, Дьюдени мог бы увеличить длину «линейки» (в нашем случае — дороги), не меняя остальных условий задачи. Оказывается, что 6 коттеджей можно расположить на круглой дороге в 31 км таким образом, чтобы любое целое расстояние от 1 до 30 км совпадало с расстоянием по кругу между некоторой парой домов. Нетрудно заметить, что для п домов максимальнее число различных способов измерения расстояний между ними равно n(n - 1). Для n = 6 мы получаем 30; следовательно, в этом случае можно расположить 6 домов на дороге в 31 км так, чтобы ни одно из расстояний между парами домов не повторялось. Точно так же оптимальные решения можно получить и в случае n = 1, 2, 3, 4 или 5. См. решение задачи Е176 Михаелем Гольдбергом, приведенное в журнале American Mathematical Monthly, September 1966, p. 786. — M. Г.]
443. Существует 9 основных решений, представленных на рисунке. Решение A — это то самое решение, которое давалось при формулировке задачи. Из данных 9 решений D, E и J порождают по 8 решений каждое с помощью поворотов и отражений, как объяснялось ранее, а остальные дают только по 4 решения каждое. Следовательно, всего существует 48 различных решений данной головоломки.
Читателю, быть может, будет небезынтересно узнать, что на шахматной доске 8 × 8 пять фишек можно расположить вдоль прямой при тех же самых условиях четырьмя основными способами, порождающими 20 различных решений.
444. Три мухи переменили позицию, как показано стрелками на рисунке, и при этом никакие две мухи не оказались на одной прямой.
445. Если бы у Пилкинса было 11 клерков, а у Рэдсона 12, то они могли бы сесть за стол 165 и 495 способами соответственно, что как раз и являлось бы решением задачи. Однако нам известно, что у той и другой фирмы клерков было поровну. Следовательно, ответом будет 15 клерков, садившихся по трое в течение 455 дней, и 15 клерков, садившихся по четыре в течение 1365 дней.
