Пятьсот двадцать головоломок - страница 107
432. Две! Требуются четыре цвета. Если у мальчика в ящике имеется лишь три краски (красная, голубая и желтая), то он может получить оранжевый, зеленый и фиолетовый цвета, смешивая их между собой. Но он не может получить четыре цвета менее, чем из трех красок. Следовательно, у него в ящике две краски («не хватает одной краски»). «Цветом» считается красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой или фиолетовый. Различные оттенки, вроде голубовато-зеленого или желто-зеленого, не допускаются.
433. Умножьте 2 столько раз на себя, сколько всего картин, и вычтите 1. Так, 2 в десятой степени равно 1024. Вычитая 1, мы получаем 1023 — правильный ответ. Предположим, что у нас только три картины. Тогда одну из них можно выбрать тремя способами, две — тоже тремя способами и три — одним, что в сумме дает 7 способов. Но 7 как раз и равняется 2>3 - 1[43].
434. Всего имеется 39 147 416 разных способов. Прибавьте 3 к числу членов (что даст 618) и вычтите 1 из числа партий (что даст 3). Тогда ответом будет число способов, которыми можно выбрать 3 предмета из 618, то есть
Общее решение таково. Пусть p — число партий, а m — число членов парламента. Число способов равно числу сочетаний из m + p - 1 объектов по p - 1.
435. Если нет никаких ограничений, то 10 человек могут разместиться на прямой 10! = 3 628 800 способами. Сколько из этих перестановок запрещено? Будем рассматривать двух человек одной национальности, заключенных в скобки, как единое целое.
1. Тогда (Ан, Аи) (Ш, Ш) (У, У) Ф Ит Ис Ам можно переставить 7! × 2>3 = 40 320 способами. Помните, что два Ан могут меняться местами внутри скобок, где бы последние ни расположились, и то же самое верно для Ш и У. Отсюда и появляется 2>3.
2. Однако мы можем рассмотреть (Ан, Ан) (Ш, Ш) У У Ф Ит Ис Ам, где два У не объединены скобками, а «свободны». Это даст нам 8! × 2>2 вариантов, но мы должны исключить отсюда результат пункта 1, чтобы не сосчитать некоторые перестановки дважды. Получаем 120 960.
3. Поступим аналогичным образом с двумя «свободными» Ш. Получим 120 960.
4. Поступим так же с двумя «свободными» Ан. Получим 120 960.
5. Но мы можем рассмотреть (Ан, Ан) Ш Ш У У Ф Ит Ис Ам, где и Ш, и У «свободны». Это даст нам 9! × 2 случаев, из которых мы должны вычесть результаты пунктов 1, 2 и 3 по очевидным теперь причинам. Получим 443 520.
6. Когда в скобки заключены только Ш, вычтем результаты пунктов 1, 2 и 4. Получим 443 520.
7. Когда в скобках оставлены только У, вычтем результаты пунктов 1, 3 и 4. Получим 443 520.
Сложим результаты семи пунктов и получим при этом 1 733 760. Теперь из самого первого результата вычтем полученное число, что даст нам верный ответ, равный 1 895 040 способам.
436. Головоломку можно решить за 9 переправ следующим образом:
1) мистер и миссис Вебстер переправляются вместе;
2) миссис Вебстер возвращается;
3) переправляются мать и невестка;
4) возвращается мистер Вебстер;
5) переправляются тесть и сын;
6) возвращается невестка;
7) переправляются мистер Вебстер с невесткой;
8) возвращается мистер Вебстер;
9) мистер и миссис Вебстер переправляются вместе.
437. Обозначим трех миссионеров через М м м, а трех каннибалов через К к к; прописными буквами обозначены миссионер и каннибал, умеющие грести. Тогда переправляются К к; К возвращается на лодке; переправляются К к; К возвращается; переправляются М м; возвращаются М к; переправляются М К; возвращаются М к; переправляются М м; возвращается К; переправляются К к; К возвращается; переправляются К к; при этом все переправляются через реку, не нарушая заданных условий.
[Задачи о переправах через реку этого и предыдущего типа решаются с помощью простого метода из теории графов. См. гл. 35 книги М. Гарднера «Математические досуги» (М., изд-во «Мир», 1972). — М. Г.]
438. Двое детей гребут к другому берегу. Один из них вылезает, а другой возвращается назад. Один солдат переправляется, вылезает, а мальчик возвращается назад. Таким образом, чтобы переправить на другой берег одного взрослого, лодка должна 4 раза проплыть от берега до берега. Поэтому ей пришлось сделать 4 × 358 = 1432 рейса, чтобы переправить офицера и 357 солдат, причем лодка в конце концов снова оказалась у детей.
