Приглашение в теорию чисел - страница 17

Рассмотрим еще ряд свойств простейших троек. Мы только что получили, что числа х и у не могут быть оба четными, но мы можем также показать, что они не могут быть и оба нечетными. Действительно, предположим, что

x = 2a +1, y = 2b + 1.

После возведения в квадрат этих чисел и сложения их, получим число

x^>2 + y^>2 = (2a + 1)^>2 + (2b + 1)^>2 = 2 + 4а + 4a^>2 + 4b + 4b^>2 = 2 + 4 (а + а^>2 + b + b^>2),

делящееся на 2, но не делящееся на 4. В соответствии с (5.1.1) это означает, что z^>2 делится на 2, но не делится на 4, но это невозможно, так как если z^>2 делится на 2, то и z делится на 2, но тогда z^>2 делится на 4.

Так как одно из чисел х и у — четное, а другое — нечетное, то z — также нечетное. Для определенности будем считать, что в наших обозначениях число х — четное, а у — нечетное.

Чтобы найти простейшие решения уравнения Пифагора (5.1.1), перепишем его в виде

x^>2 = z^>2 — y^>2 = (z + y)(z — y). (5.2.1)

Вспоминая, что х — четное, а у и z — оба нечетные, получаем, что все три числа

х, z + y, z — y

четные. Тогда мы можем разделить обе части уравнения (5.2.1) на 4 и получить

(1/2 x)^>2 = 1/2 (z + y) 1/2 (z — y). (5.2.2)

Обозначим

m_>1 = 1/2 (z + y), n_>1 = 1/2 (z — y); (5.2.3)

тогда уравнение (5.2.2) перепишется как

(1/2 x)^>2 = m_>1n_>1. (5.2.4)

Числа m_>1 и n_>1 взаимно простые. Чтобы это увидеть, предположим, что

d = D(m_>1, n_>1)

есть наибольший общий делитель чисел m_>1 и n_>1. Тогда, как это следует из § 1 гл. 4, число d должно делить оба числа

m_>1 + n_>1 = z, m_>1 — n_>1 = y.

Но единственным общим делителем чисел z и у в простейшей тройке может быть только 1, поэтому

d = D(m_>1, n_>1) = 1. (5.2.5)

Так как произведение (5.2.4) этих двух взаимно простых чисел является квадратом, то можно использовать результат, изложенный в конце § 2 гл. 4 (стр. 50), согласно которому числа m_>1 и n_>1 являются квадратами

m_>1 = m^>2, n_>1 =, D(m, n) = 1. (5.2.6)

Здесь мы можем без нарушения общности считать, что m > 0, n > 0. Теперь подставим m^>2 и n^>2 вместо m_>1 и n_>1 соответственно в уравнения (5.2.3) и (5.2.4);

получим

m^>2 = 1/2 z + 1/2 y, n^>2 = 1/2 z — 1/2 y, m^>2n^>2 = 1/4 x^>2,

т. е.

x = 2mn, y = m^>2 — n^>2, z = m^>2 + n^>2. (5.2.7)

Проверка показывает, что эти три числа всегда удовлетворяют соотношению Пифагора х^>2 + у^>2 = z^>2.

Осталось определить, какие целые положительные числа m и n в действительности соответствуют простейшим треугольникам. Докажем, что следующие три условия на числа m и n являются необходимыми и достаточными:

(1) (m, n) = 1,

(2) m > n, (5.2.8)

(3) одно из чисел m и n четное, а другое — нечетное.

Доказательство. Сначала покажем, что если числа х, у, z образуют простейшую тройку, то условия (5.2.8) выполняются. Мы уже показали, что условие (1) является следствием того, что числа х, у, z взаимно простые. Условие (2) следует из того, что числа х, у, z — положительны. Чтобы увидеть, что условие (3) необходимо, заметим, что если m и n оба нечетные, то в соответствии с (5.2.7) у и z были бы оба четные, в противоречие с результатами, полученными в конце предыдущего параграфа.

Наоборот, если условия (5.2.8) выполнены, то соотношения (5.2.7) определяют простейшую тройку: условие (2) обеспечивает положительность чисел х, у и z.

Могут ли какие-нибудь два из этих трех чисел иметь общий простой множитель р? Такое простое число р, делящее два из них, должно также делить и третье в силу соотношения х^>2 + у^>2 = z^>2. Если число р делит х, то оно в соответствии с (5.2.7) должно делить 2mn. Число р не может равняться 2, потому что у и z нечетные в соответствии с условием (3) и (5.2.7). Предположим, что р ≠ 2 — нечетное простое число, делящее m. Тогда условие (1) и выражение (5.2.7) показывают, что р не может делить у и z. Такие же рассуждения применимы и для случая, если р делит число n.

Найдя необходимые и достаточные условия (5.2.8) для того, чтобы m и n давали простейший треугольник, можно вычислить все такие треугольники с помощью соотношения (5.2.7). Например, пусть