§ 4. Наименьшее общее кратное
Вновь вернемся к дробям. Чтобы сложить (или вычесть) две дроби
c/a, d/b,
мы приводим их к общему знаменателю, а затем складываем (или вычитаем) числители.
Пример.
2/15 + 5/9 = 6/45 + 25/45 = 31/45.
Вообще, чтобы получить сумму
c/a + d/b,
мы должны найти общее кратное для чисел а и b, т. е. число m, на которое делятся как число а, так и b. Одно из таких чисел очевидно, а именно, их произведение m = ab; в результате получаем в качестве суммы дробей
c/a + d/b = cb/ab + da/ab = (cb + da)/ab.
Но существует бесконечно много других общих кратных для чисел а и b. Предположим, что мы знаем разложение этих двух чисел на простые множители:
а = р>1>α>1 • … • р>r>αr, b = р>1>β>1 •… • р>r>βr. (4.4.1)
Число m, которое делится одновременно на числа а и b, должно делиться на каждый простой делитель p>i чисел а и b и содержать его в степени μ>i не меньшей, чем большая из двух степеней α>i и β>i. Таким образом, среди общих кратных существует наименьшее
m>0 = р>1>μ>1 • … • р>r>μr, (4.4.2)
в котором каждый показатель степени μ>i равен большему из чисел α>i и β>i. Очевидно, что число m>0 является наименьшим общим кратным и любое другое общее кратное чисел а и b делится на m>0. Для наименьшего общего кратного существует специальное обозначение
m>0 = K(a, b). (4.4.3)
Пример.а = 140, b = 110. Разложение на простые множители этих чисел таково:
a = 2>2 5>1 • 7>1 • 11>0, b = 2>1 • 5>1 • 7>0 • 11>1,
следовательно,
К(а, b) = 2>2 5>1 • 7>1 • 11>1 = 1540.
Существует следующее простое соотношение между наибольшим общим делителем и наименьшим общим кратным:
ab = D(a, b) K(a,b). (4.4.4)
Доказательство. Перемножив два числа из (4.4.1), получим
аb = p>1>α>1+β>1 … • p>r>α>r+β>r. (4.4.5)
Как мы отмечали, степень числа р>i в D(a, b) является меньшей из двух чисел α>i и β>i, а в числе К(а, b) она большая из них. Предположим, что α>i ≤ β>i. Тогда степень числа р>i в числе D(a, b) равна α>i, а в К(а, b) равна β>i; следовательно, в их произведении
D(a, b) К(а, b)
она равна α>i + β>i, что в точности равняется степени в произведении (4.4.5). Это показывает справедливость соотношения (4.4.4).
Пример. а = 140, b = 110, D(a, b) = 10, К(а, b) = 1540.
ab = 140 • 110 = 10 • 1540 = D(a, b) К(а, b).
Из правила (4.4.4) вытекает, что если а и b взаимно простые, то их произведение равно их наибольшему общему кратному; действительно, в этом случае D(a, b) = 1 и поэтому ab = K(а, b).
Система задач 4.4.
1. Найдите наибольшее общее кратное пар чисел в системе задач 4.1 (с. 49).
2. Найдите наибольшее общее кратное для каждой из четырех первых пар дружественных чисел.
