В парадоксах теории множеств речь идет о возможности включения, к примеру, множества всех множеств, не являющихся собственными элементами, а число "подведомственных" этому определению множеств. Если это (бесконечное) множество есть элемент самого себя, то, значит... оно не является собственным элементом; если же оно не есть элемент самого себя (не является множеством, подпадающим под свое определение)... то именно тогда, и только тогда, оно является собственным элементом7.
Вот этот парадокс в расхожей, полушутливой редакции, предложенной Расселом. Деревенский брадобрей должен брить тех, и только тех, жителей деревни, которые не бреются сами. Должен ли брадобрей брить самого себя? Если он будет себя брить, значит, он бреетея сам, а значит, он себя брить не имеет права. Но если он себя не будет брить, значит, он имеет право себя брить... Шутейный этот парадокс демонстрирует глубокую парадоксальность "множества всех множеств, не являющихся собственными элементами".
В логическом плане существенно, что при таком подходе определение понятия "множество" перестает быть абстрактным ярлычком, объединяющим общие свойства класса "предметов". Само это определение рассматривается теперь не как имя для иных предметов, а как особый предмет, как особое множество (бесконечное), обладающее в свою очередь некими "свойствами". Теперь выясняется, что определение понятия не только может быть отнесено к самому себе, но что именно в таком самоотнесении (то есть только в понимании определения как "определенности", как предмета определения) понятие имеет смысл, может считаться обоснованным, а не произвольным. Но вся логика обычных, формальных определений и вся логика математического аппарата, при этом используемого, приспособлена была (в XIX веке) для понятий-ярлыков, терминов, для сокращенных наименований некоего иного предмета, иных предметов. Вот логическая основа всех "математических парадоксов". И понятие "множество" здесь только пример, образец, хотя отнюдь не случайный.
Указанный "пример" обнаруживает парадоксальность одного из самых благополучных отношений формальной (не математической) логики - отношения между объемом и содержанием понятия. По сути дела, в понятии "множество" впервые логически определяется (раскрывается) содержание самого понятия "объем понятия". И неожиданно оказывается, что если "объем" бесконечен, то есть если необходимо учитывать не только наличные объекты данного определения, но и возможные, конструируемые - по какой-то схеме идеализованные объекты (элементы), то тогда сами понятия "объем" и "содержание" будут тождественными и между ними не существует тривиального обратного отношения (чем шире объем, тем уже содержание, и наоборот). Предметы, на которые распространяется данное понятие, коль скоро они взяты в их актуальной бесконечности (как бесконечное множество), не нейтральны, не независимы друг от друга. Между ними есть определенная связь, соединяющая их в мыслимое целое по определенному закону (форме). Эта связь, единство, схема построения и есть как объем, так и содержание самого понятия "множество". Определение такого понятия выступает одновременно как построение особенного, парадоксального предмета (элемента), обладающего способностью полагать себя в качестве бесконечного множества (элементов).
Это и означает, что предмет реализуется в тождестве особенного и всеобщего определения; определение множества относится и к самому "определению" как особенному предмету. Сразу же возникает трудность самоотнесения понятий (понятие должно быть определением самого себя), сразу же рушится вся формальная теория определений и вся формальная теория дедукции.
Парадоксальным (невозможным для эмпирического бытия) оказывается сам предмет определения, взятый как определение предмета (самого себя). Ведь такой предмет должен в то же время и в том же самом отношении быть и особенным (конечным) предметом, и бесконечным всеобщим множеством!
Впрочем, математическая логика давно признала, что суть парадоксов теории множеств не в понятии "множество", но в понятии "понятие". Собственно, математико-логическая переформулировка теоретико-множественных парадоксов и говорит о парадоксе "самоприменимости" "несамоприменимых" понятий. Правда, математическая логика продолжает рассматривать этот парадокс только как формально логический (понятие применимо к себе тогда, и только тогда, когда оно к себе неприменимо) и не видит, что здесь речь идет о переходе формально-логического определения понятий в определение содержательно-логическое, диалектическое. В этой ситуации определение понятия (в процессе его самоотнесения) приходится рассматривать как особый предмет определения. В исходном парадоксе - как особое множество, а в собственно логической идеализации - как парадоксальную (бесконечную) форму бытия особенного (конечного) предмета (к примеру, как движение по бесконечно большой окружности, выступающее определением каждого конкретного инерционного движения).
