В теории множеств (не только в ней, но сейчас мы продумываем именно эту горячую точку развития математики) произошло исторически определенное самоотнесение коренных логических идеализаций всего теоретического мышления Нового времени, тех особенных предметных идеализаций, которые сделали некогда возможным (необходимым) расщепленное развитие одной логики в двух формах - логики определения и логики доказательства.
Речь идет прежде всего о самоисчерпании (в теории множеств) такой исходной идеализации математического мышления Нового времени, как отождествление (слабое, оппортунистическое) потенциальной бесконечности, бесконечности вывода и определяемой величины (скажем, скорости в данной точке в нулевой промежуток времени).
"Актуальная бесконечность" канторовской теории множеств потребовала непосредственного отождествления бесконечности и конечности, континуальности и дискретности в определении всеобщего "предмета" математической мысли (множества). Это требование означало, далее, необходимость коренного изменения методов дедукции (логики в узком смысле слова), необходимость привести дедукцию в соответствие с радикально "самозамыкающимся", самообосновывающим себя идеализованным предметом.
Чтобы последнее утверждение было ясным, немного о логических предпосылках такой постановки вопроса.
Исходные идеализации каждой особенной логической культуры - всегда формы введения бесконечности в определение конечного, особенного предмета. Логика Нового времени вводит в определение конечного предмета бесконечность (потенциальную) таким образом, что между предметом и его бесконечным "приближенным" измерением всегда остается щель, совпадение оказывается неполным; вычисление (измерение) никогда не может быть до конца тождественным определению. Именно поэтому логика "определения" и логика "вывода" могли существовать раздельно, квазисамостоятельно, и логический вывод никогда не замыкался на содержательное определение, а содержательная теория ничего не подозревала о своем логическом формализме. В таких условиях исходная идеализация (определение) оставалась по ту сторону логического движения; этой идеализации не могло коснуться лезвие логического анализа (между определением идеализованного предмета и логикой дедукции вечно сохранялся зазор). Опасности самообоснования не могли стать реальными логическими проблемами. Исходные "аксиомы", не замыкаясь на себя, великолепно работали "от себя", в расчете тех или иных "физических процессов".
В теории множества такого зазора уже не может быть, идея бесконечного приближения к дискретной величине уже не "срабатывает". "Быка", то бишь дискретное, конечное, особенное, надо сразу же "брать за рога", то бишь за его бесконечное континуальное, всеобщее определение. В конкретной (относительно конкретной) математической теории обнаруживается симптом всеобщего логического кризиса. Идея предмета (линии, числа, "точки") как актуальной бесконечности требует постоянного целенаправленного внимания к проблеме самообоснования логических начал; ведь бесконечность анализа должна теперь изнутри войти в определение конечного предмета.
Характерное для "конструктивизма" понимание "бесконечности" не как наличного "предмета", а как метода (формы) построения (определения) конечных особенных предметов изменяет ситуацию еще радикальнее и требует еще более органичного и осознанного слияния - в единой, небывалой логике - теории вывода и теории определения. Между тем все наличные методы дедуктивного "вывода из..." или "приближения к..." органически не приспособлены к задачам самообоснования понятий.
В парадоксах теории множеств вылез наружу не математический (в узком смысле слова) кризис, а кризис оснований всей логики Нового времени, логики, чье содержание неявно всегда развивалось в русле математических идеализаций. Перед нами - снова - категорический императив логики.
И может быть, наибольшая трудность (неразрешимость) теоретико-множественных парадоксов в том и состоит, что парадоксы эти пытаются решать как узкоматематические или (и) как формально-логические. Между тем эвристическая, творческая сила этих парадоксов обнаруживается только в процессе "сдирания" с них узкоматематической и математико-логической формы и переформулировки их как коренных парадоксов всей логической культуры Нового времени.
