Лекции по физике 6 - страница 32

какая-либо цир­куляция В вокруг токов?

Нас спасают уравнения Максвелла. Циркуляция В зависит не только от полного тока, проходящего сквозь петлю Г, но и от скорости изменения со временем электрического потока через нее. Должно быть так, чтобы эти две части как раз погашались. Посмотрим, получается ли это.

Электрическое поле на расстоянии r должно быть равно Q(г)/4pe_>0r^>2, пока, как мы предположили, заряд распределен симметрично. Поле радиально, и скорость его изменения тогда равна

(18.6)

Сравнивая это с (18.5), мы видим, что для любого расстояния

(18.7)

В уравнении IV (табл. 18.1) оба члена от источника погашаются и ротор В равен всегда нулю. Магнитного поля в нашем при­мере нет.

В качестве второго нашего примера рассмотрим магнитное поле провода, используемого для зарядки плоского конденсато­ра (фиг. 18.2). Если заряд Qна пластинах со временем изме­няется (но не слишком быстро), ток в проводах равен dQ/dt. Мы ожидаем, что этот ток создаст магнитное поле, которое окружает провод. Конечно, ток вблизи провода должен созда­вать обычное магнитное поле, оно не может зависеть от того, где идет ток.

Предположим, мы выбрали петлю Г_>1 в виде окружности с радиусом r (фиг. 18.2, а). Контурный интеграл от магнитного поля будет равен току I, деленному на e_>0с^>2. Мы имеем

(18.8)

Все это мы получили бы для постоянного тока, но резуль­тат не изменится, если учесть добавку Максвелла, потому что для плоской поверхности Sвнутри окружности электрического поля нет (считая, что провод очень хороший проводник). Поверхностный интеграл от dE/dtравен нулю.

Предположим, однако, что теперь мы медленно продвигаем кривую Г_>1 вниз. Мы будем получать всегда тот же самый резуль­тат до тех пор, пока не нарисуем кривую вровень с пластинами конденсатора

Фиг. 18.2. Магнитное поле вблизи заряжаемого конденсатора.

Тогда ток I будет стремиться к нулю. Исчезнет ли при этом магнитное поле? Это было бы очень странно. Давайте поглядим, что говорит уравнение Максвелла для кривой Г, которая представляет собой окружность радиуса r, плоскость которой проходит между пластинами конденсатора (фиг. 18.2, б). Контурный интеграл от В вокруг Г есть 2prB. Он должен быть равен производной по времени потока Е, проходящего сквозь плоскую поверхность круга S_>2. Этот поток Е, как мы знаем из закона Гаусса, должен быть равен

произведению 1/e_>0 на заряд Qна одной из пластин конденсатора. Мы имеем

(18.9)

Это очень хорошо. Результат тот же, что мы нашли в (18.8). Интегрирование по меняющемуся электрическому полю 'дает то же магнитное поле, что и интегрирование по току в проводе. Конечно, как раз об этом и говорит уравнение Максвелла. Легко видеть, что так должно быть всегда, если применить наши рас­суждения к двум поверхностям 8_>1и S'_>1, ограниченным одной и той же окружностью Г_>1 на фиг. 18.2, б. Сквозь S_>1проходит ток /, но нет электрического потока. Сквозь S_>1нет тока, но есть электрический поток, меняющийся со скоростью I/e_>0. То же поле В получится, если мы применим уравнение IV (табл. 18.1) к каждой поверхности.

Из нашего обсуждения добавки, введенной Максвеллом, у вас могло сложиться впечатление, что она добавляет немного — просто подправляет уравнения в согласии с тем, что мы уже ожидали. Это верно, пока мы рассматриваем уравнение IV само по себе, ничего особенно нового не появляется. Слова само по себе, однако, весьма важны. Небольшое изменение, введенное Максвеллом в уравнение IV в сочетании с другими уравнениями, на самом деле дает много нового и важного. Но прежде чем заняться этим вопросом, поговорим подробнее в табл. 18.1.

§ 3. Все о классической физике

В табл. 18.1 сведено все, что знала фундаментальная клас­сическая, физика, т. е. та физика, которая была известна до 1905 г. В одной этой таблице есть все. С помощью этих уравне­ний можно понять все достижения классической физики.

Прежде всего, мы имеем уравнения Максвелла, записанные как в расширенном виде, так и в короткой математической фор­ме. Затем есть сохранение заряда, которое даже записано в скобках, потому что сохранение заряда можно вывести из имеющихся полных уравнений Максвелла. Так что в таблице имеются даже небольшие излишки. Дальше мы записали закон для силы, поскольку все имеющиеся электрические и магнитные поля ничего не говорят нам до тех пор, пока мы не знаем, как они действуют на заряды. Однако, зная Е и В, мы можем найти силу, действующую на объект с зарядом q