Лекции по физике 6 - страница 30

индуктивность.

Глава 18

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

§ 1. Уравнения Максвелла

§ 2. Что дает добавка

§ 3. Все о класси­ческой физике

§ 4. Передвигаю­щееся поле

§ 5. Скорость света

§ 6. Решение уравнений Максвелла; потенциалы и волновое уравнение

§ 1. Уравнения Максвелла

В этой главе мы вернемся к полной системе из четырех уравнений Максвелла, которые мы приняли как отправной пункт в гл. 1 (вып. 5). , До сих пор мы изучали уравнения Максвелла не­большими частями, кусочками; теперь пора уже прибавить последнюю часть и соединить их все воедино. Тогда мы будем иметь полное и точное описание электромагнитных полей, которые могут изменяться со временем произвольным образом. Все сказанное в этой главе, если даже оно и будет противоречить чему-то сказанному ранее, правильно, а то, что говорилось ранее в этих случаях, неверно, потому что все высказанное ранее применялось к таким част­ным случаям, как, скажем, случаи постоянного тока или фиксированных зарядов. Хотя всякий раз, когда мы записывали уравнение, мы весьма старательно указывали ограничения, легко по­забыть все эти оговорки и слишком хорошо заучить ошибочные уравнения. Теперь мы можем изложить всю истину, без всяких ограни­чений (или почти без них).

Все уравнения Максвелла записаны в табл. 18.1 как словесно, так и в математических символах. Тот факт, что слова эквивалентны уравнениям, должен быть сейчас вам уже зна­ком — вы должны уметь переводить одну форму в другую и обратно.

Первое уравнение — дивергенция Е равна плотности заряда, деленной на e_>о,— правильно всегда. Закон Гаусса справедлив всегда как в динамических, так и в статических полях. Поток Е через любую замкнутую поверхность пропорционален заключенному внутри заряду. Третье уравнение — соответствующий общий закон для магнитных полей.

Уравнения Максвелла

(Поток Е через замкнутую поверх­ность) = (Заряд внутри нее)/e_>0

(Интеграл от Е по замкнутому кон­туру) = -d/dt(Поток В сквозь контур)

(Поток В через замкнутую поверх­ность) = 0

с^>2 (Интеграл от В по контуру)=(Ток в контуре) /e_>0 + d/dt(Поток Е сквозь контур)

(Поток заряда через замкнутую по­верхность) =-d/dt(Заряд внутри нее)

Закон силы

F = q(E+vXB)

Закон движения

(Закон Ньютона, исправлен­ный Эйнштейном}

Гравитация

Поскольку магнитных зарядов нет, поток В через любую замкнутую поверхность всегда равен нулю. Второе уравнение СXE=-dB/dt— это закон Фарадея, и обсуждался он в последних двух главах. Он тоже верен в общем случае. Но последнее уравнение содержит нечто новое. Раньше мы встречались только с частью его, которая годится для постоянных токов. В этом случае мы говорили, что ротор В равен j/e_>0c^>2, но правильное общее уравнение имеет новый член, который был открыт Максвеллом.

До появления работы Максвелла известные законы элек­тричества и магнетизма были такими же, как те, что мы изучали в гл. 3—14 (вып. 5) и гл. 15—17. В частности, урав­нение для магнитного поля постоянных токов было известно только в виде

(18.1)

Максвелл начал с рассмотрения этих известных законов и вы­разил их в виде дифференциальных уравнений, так же как мы поступили здесь. (Хотя символ С еще не был придуман, впер­вые, в основном благодаря Максвеллу, стала очевидной важ­ность таких комбинаций производных, которые мы сегодня называем ротором и дивергенцией.) Максвелл тогда заметил, что в уравнении (18.1) есть нечто странное. Если взять дивер­генцию от этого уравнения, то левая сторона обратится в нуль, потому что дивергенция ротора всегда равна нулю. Таким об­разом, это уравнение требует, чтобы дивергенция j также была равна нулю. Но если дивергенция j равна нулю, то полный ток через любую замкнутую поверхность тоже равен нулю.

Полный ток через замкнутую поверхность равен уменьше­нию заряда внутри этой поверхности. Он наверняка не может быть всегда равен нулю, так как мы знаем, что заряды могут перемещаться из одного места в другое. Уравнение

(18.2)

фактически есть наше определение j. Это уравнение выражает самый фундаментальный закон — сохранение электрического заряда: любой поток заряда должен поступать из какого-то запаса. Максвелл заметил эту трудность и, чтобы избежать ее, предложил добавить