Лекции по физике 6 - страница 29

Значит, мы должны поискать другой способ вычисления коэффициента самоиндукции одной катушки. При этом надо учесть распределение токов внутри проводника, потому что его размеры — важный параметр. Но мы не будем считать полную индуктивность, а сосчитаем лишь ту ее часть, которая связана с расположением проводников, и не будем учитывать часть, связанную с распределением токов. Пожалуй, самый простой способ найти такую индуктивность — это использовать магнит­ную энергию. Ранее, в гл. 15, § 3, мы нашли выражение для магнитной энергии распределения стационарных токов:

(17.44)

Если известно распределение плотности тока j, то можно вы­числить векторный потенциал А, а затем, оценив интеграл (17.44), получить энергию. Эта энергия равна магнитной энер­гии самоиндукции, ^>l/_>2ж_>I^>2. Приравнивая их, получаем формулу для индуктивности:

(17.45)

Мы, конечно, ожидаем, что индуктивность есть число, зависящее только от геометрии цепи, а не от тока / в цепи. Формула (17.45) действительно приводит к такому результату, потому что ин­теграл в ней пропорционален квадрату тока — ток входит один раз от j и еще раз от векторного потенциала А. Интеграл, деленный на I^>2, зависит от геометрии цепи, но не от тока I.

Выражению (17.44) для энергии распределения токов можно придать совсем другую форму, иногда более удобную для вы­числений. Кроме того, как мы увидим позже, именно эта форма важна, потому что она справедлива в более общем случае. В формуле (17.44) и А и j можно связать с В, поэтому можно надеяться, что энергия выразится через магнитное поле — точно так же, как нам удалось связать электростатическую энергию с электрическим полем. Начнем с подстановки e_>0c^>2СXВ вместо j. Заменить А мы не можем с той же легкостью, потому что нельзя обратить B=СXA, чтобы выразить А через В. Можно только

записать

(17.46)

Любопытно, что при некоторых ограничениях этот интеграл можно превратить в

(17.47)

Чтобы увидеть это, выпишем подробно типичный множитель. Предположим, что мы взяли множитель (СXB)_>zA_>z, входящий в интеграл (17.46). Выписывая полностью компоненты, полу­чаем

(имеются, конечно, еще два интеграла того же сорта). Проинте­грируем теперь первый множитель по х, интегрируя по частям,

Теперь предположим, что наша система (имея в виду источники и поля) — конечная, так что, когда мы уходим на большие рас­стояния, все поля стремятся к нулю. Тогда при интегрировании по всему пространству подстановка B_>yA_>zна пределах интеграла дает нуль. У нас остается только В (дА_>г/дх); это, очевидно, есть часть от B_>y(СXA)_>yи, значит, от В·(СXA). Если вы вы­пишите остальные пять множителей, то увидите, что (17.47) на самом деле эквивалентно (17.46).

А теперь мы можем заменить (СXA) на В и получить

(17.48)

Мы выразили энергию в магнитостатическом случае только через магнитное поле. Выражение тесно связано с формулой, которую мы нашли для электростатической энергии:

(17.49)

Эти две энергетические формулы выделены потому, что иногда ими удобнее пользоваться. Обычно есть и более важная причина: оказывается, что для динамических полей (когда Е и В меняются со временем) оба выражения (17.48) и (17.49) остаются справедливыми, тогда как другие данные нами фор­мулы для электрической и магнитной энергий перестают быть верными — они годятся лишь для статических полей.

Если нам известно магнитное поле В одной катушки, мы можем найти коэффициент самоиндукции, приравнивая выра­жение для энергии (17.48) и ^>1/_>2жI^>2. Посмотрим, что получится в результате для индуктивности длинного соленоида. Раньше мы видели, что магнитное поле в соленоиде однородно и В снаружи равно нулю. Величина поля внутри равна В=nI/e_>0с^>2, где n — число витков на единицу длины намотки, а I — ток. Если радиус катушки r, а длина ее L(мы считаем, что Lочень велика, чтобы можно было пренебречь краевыми эффектами, т. е. L >>r), то внутренний объем равен pr^>2L. Следовательно, магнитная энергия равна

что равно ^>1/_>2^I^>2. Или

(17.50)

* Кстати, это не единственный способ установления соответствия между механическими и электрическими величинами.

* Мы пренебрегаем всеми тепловыми потерями энергии в сопротив­лении катушки. Эти потери требуют дополнительных затрат энергии источника, но не меняют энергии, которая тратится на