Б.Д.: А можно ещё чуть-чуть об этих волновых процессах? Какие-то примеры их в разных областях природы, т.е. как это работает?
В.З.: Ради бога. Все оптические коммуникации сейчас устроены при помощи этих волн. Есть такое слово «солитон». Оно, может быть, вам известно. Математическая теория солитонов и есть мост, который был воздвигнут между физикой и математикой. Солитон — это такой волновой пакет, волна, которая локализована, которая движется без искажения своей формы и может пройти очень большое расстояние без искажения формы. Солитоны бывают в оптике. Сейчас есть одна из основных идей, она уже достаточно давно возникла, но технически реализуется только сейчас — использовать солитоны в качестве квантов информации в оптических системах.
Д.И.: А какая математика занимается солитонами?
В.З.: Это теория интегрируемых систем [6], такая и старая, и новая теория. Почему, собственно, это открытие стало таким важным для математики? Среди динамических систем есть интегрируемые системы, которые можно проинтегрировать в квадратурах, как говорили раньше, движение которых можно полностью описать аналитически. Предположим, не всегда в элементарных, обычно нужны эллиптические или гиперэллиптические функции. До 1960-х годов было известно очень мало примеров интегрируемых систем.
Д.И.: В бытовом смысле это можно понимать так: системы, которые изолированы по отношению.
В.З.: Нет-нет, это особые системы. Система может быть изолирована, пожалуйста, но это особый класс динамических систем. Ими обладает такая избранная аристократия динамических систем с дополнительными инвариантами, у которых группы внутренней симметрии существенно выше, чем у других. До сих пор, начиная с XIX в., было известно довольно мало интегрируемых систем. Ну, вот движение твёрдого тела: если мы бросим ложку и будем описывать, как она движется, движение описывается эллиптическими функциями. Это интегрируемая система. Есть симметричный волчок, закреплённый в одной точке — интегрируемая система. Движение частицы в центрально-симметричном поле; движение частицы в поле двух кулоновских центров. Скажем, есть две звезды, и между ними движется третье тело — интегрируемая система. Каждая интегрируемая система является базисом для целой огромной науки, потому что реальные системы часто близки к интегрируемым, но не интегрируемы.
Б.Д.: Они не настолько сильно связаны внутри себя.
В.З.: Да, они не настолько глубоко симметричны, они приближенно симметричны. И вот по теории возмущения к интегрируемым системам и строилась вся наука вплоть до 1971 г., когда было обнаружено (наша работа с академиком Л.Д. Фаддеевым), что существуют интегрируемые системы с бесконечным числом степеней свободы, сильно нелинейные, так называемые уравнения Кортевега де Фриза. И потом их пошли открывать: то, что описывает движение соли-тонов в оптических волокнах, — это так называемое нелинейное уравнение Шредингера. Оно тоже интегрируемое, и это было найдено в моей (совместной с А.Б. Шабатом) работе. Она является одной из двух, наиболее цитируемых работ российских учёных, которые Вы можете найти на сайте Scientific.ru, — на неё, по-моему, около 3 тыс. ссылок.
Б.Д.: В чём специфика тех объектов, которые были постулированы в 1971 г.? Увеличение количества степеней свободы в чём отражается?
В.З.: Смотрите, у этой ложки шесть степеней свободы. Вы можете в трёх направлениях двигать и в трёх направлениях вращать. Если вы перейдёте в систему центра масс, которые падают свободно, то там останется три степени. А солитон — это теория мелкой воды в море. Это, разумеется, система с бесконечным числом степеней свободы, т.е. можно разнообразно эту воду возмущать. Тем не менее, это интегрируемая система: вы можете аналитически описать любое возмущение — что будет происходить до самого конца.
Б.Д.: То есть это возможность рассмотреть как интегрируемую систему гораздо более разнообразные классы.
В.З.: Гораздо более разнообразные! Оказалось, что их гораздо больше, чем предполагалось, и открытие новых интегрируемых систем — это был такой бум 1970-х годов. К концу 70-х — середине 80-х всё, что можно, было выработано и найдено. Например, мы открыли, что интегрируемы уравнения Эйнштейна в частных, но важных случаях, описывающих «чёрные дыры» [5]. «Чёрные дыры», с математической точки зрения, оказались теми же солитонами.
