43. b На какой длине волны наблюдается пик интенсивности излучения от звезды? Проследите, чтобы это был глобальный пик спектра, не отвлекайтесь на локальные пики между линиями поглощения. По пиковой длине волны вычислите температуру поверхности звезды.
7—8. Жизнь и смерть звезд
7—8
ЖИЗНЬ И СМЕРТЬ ЗВЕЗД
44. Сияющее Солнце
Из этой задачи вы узнаете, с какой скоростью Солнце расходует свое ядерное топливо.
44. а Четыре атома водорода (общая масса = 6,693 10–27 килограммов) в результате термоядерного синтеза дают один атом гелия (масса =
= 6,645 10–27 килограммов). Если 1 грамм водорода в Солнце перегорает в гелий, сколько энергии это дает?
44. b Светимость Солнца составляет 4 1026 джоулей в секунду. Масса
Солнца 2 1030 кг. Три четверти массы Солнца составляет водород. Сделайте приблизительную оценку максимального времени, которое Солнце будет светить с нынешней светимостью в результате перегорания водорода в гелий.
Как эта оценка соотносится с действительной продолжительностью жизни звезд главной последовательности? Объясните выявленные расхождения.
45. Термоядерный синтез и принцип неопределенности Гей-
зенберга
Задача повышенной сложности.
47
ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь
Эта задача позволит нам изучить физику термоядерных реакций в ядрах звезд, в результате которых протоны сливаются и создают ядра гелия.
В «Большом космическом путешествии» отмечено, что если два протона приближаются друг к другу, сильное взаимодействие преодолевает силу электромагнитного отталкивания между ними и заставляет их сливаться.
Наша цель — вычислить, какой должна быть температура в ядре звезды, чтобы они могли сблизиться на нужное расстояние; при этом мы убедимся, что выяснить, какое именно расстояние считать нужным, не так-то просто.
45. а Первым делом определим соотношение между температурой протонного газа T и расстоянием, на которое могут подойти друг к другу протоны в этом газе. Рассмотрим два протона, которые движутся навстречу друг другу; каждый из них обладает первоначальной кинетической энергией E = 3/2 kT, где k — постоянная Больцмана, которую вы найдете в разделе «Полезные численные величины и формулы». Сила взаимного отталкивания, вызванная тем, что у обоих протонов положительный заряд, заставляет их замедлиться, и они останавливаются, а потом снова разлетаются: в точке наибольшего сближения вся кинетическая энергия преобразуется в электростатическую потенциальную энергию. Формула потенциальной энергии U двух протонов с зарядом e, разделенных расстоянием r, такова:
2 e
U = q ,
r где q 9 109 (Джоуль метр) кулон–2, и это постоянная силы Кулона.
Заряд протона равен е 1/6 10–18 кулона.
Предположим, что сильное взаимодействие одерживает верх, когда два протона непосредственно соприкасаются, то есть при r = 10–15 м. Вычислите отношение первоначальной кинетической энергии к окончательной
48
7—8. Жизнь и смерть звезд потенциальной энергии на этом расстоянии и решите уравнение для температуры, необходимой, чтобы два протона настолько сблизились. Сравните температуру в центре Солнца (15 миллионов К) и поясните, достаточно ли по вашим расчетам жарко в центре Солнца, чтобы произошел синтез из двух протонов?
45. b В части а) вы должны были обнаружить, что температура, необходимая для синтеза двух протонов, значительно выше реальной температуры в ядре Солнца. Однако мы знаем, что термоядерный синтез в Солнце идет, а следовательно, мы чего-то недопонимаем. Это что-то — квантовая механика. Один из принципов квантовой механики гласит, что мы не можем одновременно точно знать и местоположение, и скорость объекта (это называется принципом неопределенности Гейзенберга). В частности, положение протона массы m, который движется со скоростью v, можно вычислить с точностью лишь до h
λ =
,
mv где h 2/3 10–33 джоулей с — так называемая постоянная Планка
(расстояние в этом уравнении называется длиной волны де Бройля для протона). Сначала покажите, что имеет размерность длины. Затем выразите v, а следовательно, и, через температуру на основании формулы, связывающей кинетическую энергию и температуру газа (здесь ограничьтесь только алгеброй, числа подставим потом). Далее, воспроизведите вычисления из части а), подставив длину волны де Бройля в качестве расстояния между двумя протонами, на котором верх одерживает сильное взаимодействие, и решите уравнение для температуры. Ответ дайте в алгебраическом виде через
