той же массы? Чтобы ответить на этот вопрос, вычислите отношение энергии столкновения и энергии взрыва.
25. Центростремительное ускорение Луны и закон всемирного тяготения
В этой задаче мы вспомним, как у Ньютона зародилась идея закона всемирного тяготения (по крайней мере, как он об этом рассказывал на склоне лет), и проследим логику его умозаключений.
25а. Луна вращается вокруг Земли по орбите радиусом 384 000 километров (легкой эллиптичностью орбиты мы здесь пренебрежем). Какова эта величина в радиусах Земли? Луна совершает полный оборот по этой орбите за 27,3 суток (1 месяц). Какова скорость Луны на орбите (в м/с)? Каково центростремительное ускорение Луны на орбите (в м/с2)?
25. b Согласно второму закону Ньютона, сила, необходимая, чтобы придать телу массы m ускорение а, равна ma. Для тела, движущегося по
32
3. Законы Ньютона кругу радиусом r с постоянной скоростью v, это ускорение составляет v 2/ r.
С учетом этого, какова должна быть связь силы и радиуса, чтобы соблюдался и третий закон Кеплера, согласно которому r 3 пропорционален квадрату периода Р? Нам нужно найти пропорциональность между силой и простой функцией радиуса.
25. с Если центростремительное ускорение Луны и в самом деле вызвано гравитацией Земли, то это ускорение должно убывать пропорционально квадрату расстояния от Земли. Используйте расстояние до Луны в радиусах
Земли, чтобы предсказать, каково будет ускорение свободного падения на поверхности Земли (то есть на расстоянии в 1 радиус Земли от центра).
Сравните результат с измеряемым ускорением яблока, падающего с дерева, которое составляет 10 м/с2.
26. Кеплер о Юпитере
При решении этой задачи мы непосредственно проверим третий закон
Кеплера. Мы изучим орбиты четырех спутников, которые обнаружил на орбитах вокруг Юпитера Галилей: Ио, Европы, Ганимеда и Каллисто. Большие полуоси а и периоды обращения этих спутников по орбитам Р приведены в таблице.
Спутник
Большая полуось (км)
Период (сутки)
Ио
4,216 105
1,769
Европа
6,709 105
3,551
Ганимед
1,070 106
7,155
Каллисто
1,883 106
16,69
В этой задаче вы подтвердите, что их соотношение соответствует предсказанию Кеплера: Р 2 = С а 3 (где С — коэффициент пропорциональности).
Для решения придется воспользоваться калькулятором.
33
ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь
26. а Сначала вычислите С на основании данных о Европе: во-первых, в единицах МКС (время в секундах, расстояния в метрах), а затем в единицах, где время измеряется в годах, а расстояние — в а. е.
26. b Используя значение С, полученное в единицах МКС, подтвердите, что третий закон Кеплера справедлив для Ио, Ганимеда и Каллисто.
26. с Каково значение коэффициента пропорциональности С в единицах, где задействованы годы и а. е., для орбиты Земли вокруг Солнца?
26. d Используя единицы, где задействованы годы и а. е., найдите отношение коэффициента пропорциональности С, который вы нашли в части а) для системы Юпитера, к значению С для орбиты Земли вокруг Солнца. Также найдите отношение масс Солнца и Юпитера. Как связаны эти два отношения? Почему?
27. Нептун и Плутон
Эту задачу предложил Крис Чиба.
Планета Нептун, самая далекая из известных нам крупных планет Солнечной системы, вращается вокруг Солнца по орбите с большой полуосью а = 30,066 а. е. и эксцентриситетом е = 0,01. Плутон, следующее крупное небесное тело в сторону от Солнца (хотя и гораздо меньшее, чем Нептун), вращается по орбите с а = 39,48 а. е. и е = 0,250.
27. а Сколько лет занимает один оборот Нептуна вокруг Солнца? Ответ дайте с точностью до нужного количества значащих цифр с учетом данных из условия задачи.
27. b Сколько лет занимает один оборот Плутона вокруг Солнца?
27. с Вычислите отношение двух периодов обращения по орбите, которые вы узнали из частей а) и b). Вы обнаружите, что оно очень близко к отношению двух маленьких целых чисел; каких именно? Таким образом, эти две планеты ведут себя по отношению друг к другу согласно определенной периодической закономерности, и их взаимное притяжение время от времени усиливается, что удерживает их на этой паре орбит. Перед нами пример
34
3. Законы Ньютона орбитального резонанса. В Солнечной системе есть и другие примеры такого рода — и среди спутников Юпитера, и между спутниками и различными объектами в кольцах Сатурна.
