Таким образом, броуновское движение дает нам ситуацию, в которой частицы описывают кривые, принадлежащие к некоторому статистическому множеству кривых. Тем самым оно представляло собой идеальный объект для применения моих идей о лебеговском интегрировании в пространстве кривых, обладающий также тем преимуществом, что объект этот был физически реальным и тесно связанным с идеями Гиббса. И действительно, применив здесь свои соображения, относящиеся к общей теории интегрирования, я добился значительного успеха.
Само по себе броуновское движение вовсе не было совсем неисследованной областью физики. Но в фундаментальных работах Эйнштейна и Смолуховского, посвященных этой проблеме, изучалось или поведение некоторой частицы в какой-то фиксированный момент времени, или же зависящие от времени статистические характеристики большой совокупности частиц, математические же свойства траекторий отдельных частиц никак не затрагивались.
В этом последнем направлении почти ничего не было известно, если не считать глубокого замечания французского физика Перрена, отметившего в своей книге «Атомы» (Les Atomes)[23], что крайне нерегулярные траектории частиц, совершающих броуновское движение, заставляют вспомнить непрерывные, нигде не дифференцируемые кривые математиков. В этом замечании говорится о непрерывности, поскольку частицы не совершают никаких мгновенных скачков, и о недифференцируемости, поскольку кажется, что ни в какой момент времени эти частицы не обладают точно определенным направлением движения.
В случае физического броуновского движения частицы, разумеется, не во все моменты времени сталкиваются с молекулами — за каждым столкновением следует какой-то промежуток времени, в течение которого никаких столкновений не происходит. Эти промежутки, однако, слишком малы, чтобы их можно было наблюдать каким-нибудь обычным способом. Естественно поэтому идеализировать броуновское движение, предположив молекулы бесконечно малыми, а столкновения — происходящими непрерывно. Именно такое идеализированное броуновское движение я и изучал, обнаружив при этом, что его свойства являются прекрасным суррогатом загадочных свойств истинного броуновского движения.
К моему удивлению и удовольствию, я убедился, что при таком понимании броуновского движения его формальная теория может быть доведена до высокой степени совершенства и изящества. В рамках этой теории мне удалось подтвердить замечание Перрена, показав, что, за исключением множества случаев, имеющих суммарную вероятность нуль, все траектории броуновского движения являются непрерывными нигде не дифференцируемыми кривыми.
Мне кажется, что в статьях, написанных мной по этому вопросу, впервые было раскрыто нечто совершенно новое — возможность комбинирования лебеговой техники интегрирования с физическими идеями Гиббса. Тем не менее статьи не содержали решения некоторых важных проблем, нужного для формального оправдания результатов Гиббса; такое решение лишь позже было получено в терминах, использующих понятие интеграла Лебега, Бернардом Купменом, Дж. фон Нейманом и Дж. Д. Биркгофом. Но это произошло лишь в 30-х годах, когда представление о том, что идеи Гиббса и Лебега вовсе не являются совсем чуждыми друг другу, уже не казалось столь неожиданным.
В период, когда я опубликовал свои первые статьи о броуновском движении, появились также исследования еще одного явления, которое также можно было бы описать в соответствии с моими работами. Это новое явление получило название дробового эффекта, и касалось оно прохождения электрического тока, состоящего из дискретного потока электронов, через проволоку или электронную лампу. Такой дискретный поток нельзя создать без того, чтобы в отдельные моменты времени проходящие электроны не сбивались бы в плотную кучу, а в другие — шли более редко. Эти нерегулярности, которые и составляют суть дробового эффекта, сами по себе очень малы, но их можно усилить и сделать вполне заметными при помощи ламповых усилителей. Поэтому такой «ламповый шум», или «проводниковый шум», является серьезным препятствием при использовании электрической аппаратуры, к которой приложена большая нагрузка.
