Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - страница 72
Интересно отметить, что именно Джон Валлис впервые использовал в 1655 г. символ бесконечности ∞ (по правде говоря, в своей работе о вычислении площадей под названием «О конических сечениях» (De sectionibus conicis) он использовал выражение 1/∞).
В 1671 г. шотландский математик и астроном Джеймс Грегори предложил еще одну формулу для вычисления π в виде бесконечной суммы:
Какая красивая формула! Простая, изящная и эффектная.
Этот рассказ был бы, однако, неполным, если бы я не упомянул, что сегодня честь открытия приведенной выше формулы приписывают индийскому математику XIV в. Мадхаве, который, по-видимому, знал ее задолго до Грегори. Некоторые исследователи утверждают, что Мадхава не только знал эту формулу, но и нашел способ вычисления отклонения ее результатов от истинного значения π и даже разработал еще одну формулу для вычисления π, дающую гораздо более прямое приближение к значению этого числа, чем формула Грегори. Вот она:
Честно говоря, тут я воспользовался случаем, чтобы показать вам некоторые особенно красивые формулы для вычисления значения π. Чтобы доказать, что π – вычислимое число, достаточно было бы показать всего лишь одну из них.
Что такое е?
Число Эйлера е также не относится к алгебраическим числам, но, поскольку оно определено как предел некоторой последовательности, его значение также вычислимо, и, как и в случае числа π, есть несколько способов этого вычисления. Ниже я привожу несколько изящных и (сравнительно) простых примеров. Возможно, вы уже знакомы с первыми двумя.
Ибо в конечном счете что же он такое – человек во Вселенной? Небытие в сравнении с бесконечностью, все сущее в сравнении с небытием, нечто среднее между всем и ничем. Бесконечно далекий от понимания этих крайностей – конца мироздания и его начала…
Блез Паскаль
Невычислимые вещественные числа
А существуют ли числа вещественные, но невычислимые? Они не просто существуют – их очень много. Собственно говоря, поскольку, как мы отметили раньше, количество алгоритмов счетно, мощность множества вычислимых чисел должна быть равна ℵ>0. А поскольку мощность множества вещественных чисел равна ℵ, это означает, что должно существовать ℵ вещественных чисел, которые не являются вычислимыми! Другими словами, невычислимы почти все вещественные числа. Для определения большинства вещественных чисел не существует алгоритмов. Можно ли говорить о невычислимых числах? Можете ли вы найти пример вещественного числа, которое было бы невычислимым?
Некоторые математики утверждают, что во всем наборе вещественных чисел нет необходимости, и для всех практических целей вполне можно обойтись одними только вычислимыми числами.
Тем, кто хочет узнать больше (гораздо больше!) о вычислимых числах и их интереснейшей связи с концепциями Алана Тьюринга, я настойчиво рекомендую прочитать книгу «Новый ум короля. О компьютерах, мышлении и законах физики» (1989)[59], которую написал британский математик, философ и обладатель бесчисленных (можно ли сказать «бесконечных»?) наград и званий сэр Роджер Пенроуз.
Сэр Роджер Пенроуз разработал в сотрудничестве со своим отцом, Лайонелом Пенроузом, несколько невозможных геометрических фигур и послал их голландскому художнику М. К. Эшеру (одному из героев книги «Гёдель, Эшер, Бах»), а тот использовал их в своих гравюрах. К числу наиболее знаменитых из этих фигур относятся две следующие{34}:
Треугольник Пенроуза
Лестница Пенроуза – нескончаемое путешествие
Только представьте себе, как вы поднимаетесь по этой лестнице – все поднимаетесь и поднимаетесь и все же все время возвращаетесь в одну и ту же точку. Эшер добавил череду вечно поднимающихся и вечно спускающихся монахов: все они оказываются в том же месте, с которого начали движение.
Ну что же, мы познакомились с несколькими интересными концепциями, но теперь нам пора вернуться к теории Кантора и узнать, что бесконечность бесконечна.
Бесконечность бесконечна
Существует ли множество чисел, мощность которого больше мощности множества вещественных чисел? Есть ли вообще «наибольшее» значение мощности?
