Публикация первой теоремы Гёделя о неполноте в 1931 году сделала его международной знаменитостью в мире математики. Его имя зазвучало на всех встречах и конгрессах, а его доказательство стало (и остается до сих пор) классикой математического рассуждения. Однако Гёдель не смог сразу же насладиться славой, поскольку по завершении этой работы пережил сильный нервный срыв и вынужден был отказаться от публичной деятельности на несколько месяцев. Почти наверняка это было результатом стресса, вызванного представлением его теоремы.
На самом деле в статье 1931 года Гёдель представил две теоремы. Одна из них — уже упомянутая первая теорема о неполноте, также известная как теорема Гёделя. Именно ее мы доказали в предыдущей главе и вернемся к ней еще. В теореме говорится, что если выбрать в качестве арифметических аксиом любое множество истинных высказываний и принимать только доказательства, проверяемые алгоритмически, то всегда найдется истинное высказывание, недоказуемое на основе этих аксиом.
Другая теорема, которую Гёдель представил в этой статье 1931 года, сегодня известна как вторая теорема о неполноте, или вторая теорема Гёделя. В ней говорится о невозможности алгоритмически проверить истинность множества арифметических аксиом. Мы обсудим эту теорему чуть позже. Следует сказать, что в статье не содержалось ее детального доказательства. Гёдель ограничился лишь тем, что в общих чертах изложил идею и отметил, что собирается написать вторую часть статьи с полным доказательством. Однако болезнь помешала ему сделать это в ближайшие месяцы, а после выздоровления выяснилось, что доказательства обеих теорем (даже второй, о которой ученый только намекнул) получили всеобщее признание. В этой ситуации Гёдель не счел нужным публиковать дополнительные пояснения, поэтому вторая часть статьи так и не была написана. (Оригинальное название статьи на немецком языке заканчивается римской цифрой I: это указывает на то, что речь идет только о первой части. В переводах на испанский, английский и другие языки ее обычно опускают.)
Преодолев нервный кризис, Гёдель в 1933 году начал работу в Венском университете в качестве приват-доцента. В то время в университетах Центральной Европы с должности приват-доцента обычно начинали карьеру преподавателя. Кроме того, как мы уже сказали, Гёдель превратился в международную знаменитость и в том же году был приглашен в США прочитать лекцию на ежегодном собрании Американского математического общества.
Во время этой первой поездки в США Гёдель познакомился с Альбертом Эйнштейном, который эмигрировал туда в 1933 году. Между ними сразу зародилась теплая дружба, которая длилась до самой смерти Эйнштейна в 1955 году.
В последующие два года, 1934 и 1935, Гёдель снова ездил в США, уже по приглашению Института перспективных исследований в Принстоне. В этом учреждении он прочитал несколько курсов и лекций, не только по своим теоремам о неполноте, но и по темам, затронутым в последующих исследованиях. Среди них, например, такая проблема: существует ли алгоритм, который при заданном множестве аксиом и высказывании Р позволит определить, доказуемо ли Р на основе этих аксиом? Гёдель получил несколько частичных решений, а полностью проблема была решена в 1936 году американским логиком Алонзо Чёрчем, который доказал, что алгоритма с такими
характеристиками не существует. Эта проблема, как и другие, поставленные самим Гёделем или другими логиками, вдохновленными его исследованиями, положила начало теории вычислимости, то есть изучению того, при каких условиях математическая проблема решаема алгоритмически.
ИНСТИТУТ ПЕРСПЕКТИВНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ В ПРИНСТОНЕ
Институт перспективных исследований в Принстоне (Нью-Джерси, США), основанный в 1930 году, имел целью собрать международную научно-исследовательскую элиту. И действительно, в нем трудились такие прославленные ученые, как Курт Гёдель, Альберт Эйнштейн, Джулиус Роберт Оппенгеймер (американский физик-теоретик, научный руководитель Манхэттенского проекта), Джон фон Нейман, Оскар Моргенштерн (последние двое — создатели теории игр) и Герман Вейль (выдающийся немецкий физик и математик).
