Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии - страница 48

С комплексными числами могут выполняться операции сложения и вычитания. На первый взгляд это кажется сложным, но в действительности это не так. Сумма двух комплексных чисел а + bi и с + di рассчитывается следующим образом:

(а + i) + (с + di) = (а + с) + (b + d)i.

К примеру, (2 + 5i) + (3 — i) = (2 + 3) + (5–1)i = 5 + 4i.

Вычитание — операция, обратная сложению, следовательно, разность комплексных чисел a + bi и с + di рассчитывается так:

(а + i) + (с + di) = (а — с) + (b — d)i.

К примеру, (1 + 3i) — (4 + 2i) = (1–4) + (3–2)i = —3 + i.

Также для комплексных чисел определены умножение и деление.

Произведение двух комплексных чисел а + bi и с + di определяется так:

(а + bi)·(с + di) = (ас — bd) + (ad + bc)i.

Обратите внимание, что результат умножения можно получить следующим, более понятным способом:

(а + bi)·(с + di) = а·с + а·d·i + b·с·i + b·d·i^>2.

Напомним, что i^>2 = —1. Имеем:

a·c + a·d·i + b·i·c — b·d.

Приведем подобные слагаемые:

(ас — bd) + (ad + bc)i.

К примеру, (2 + 6i)·(8 + 2i) = (2·8–6·2) + (2·2 + 6·8)i = 4 + 52i.

Частное двух комплексных чисел а + bi и с + di определяется так:

Например,

И вновь обратите внимание, что частное двух комплексных чисел — это результат выполнения следующей последовательности действий:

Приведем подобные слагаемые:

Комплексные числа полезны не только для графического изображения фракталов. Их постоянно используют инженеры при работе с электрическими цепями. Так, мощность бытовой техники выражается вещественными числами, мощность промышленных устройств — комплексными. Изучение биологических циклов, которые переживает человек, и анализ колебаний (к примеру, колебаний тела, закрепленного на пружине) в физике отчасти схожи: для решения этих задач используются комплексные числа. По этой причине те, кто знаком с комплексными числами, обычно используют формулу, которая считается одной из самых красивых и полезных в математике. Это формула Эйлера, связывающая мнимую единицу i, степень числа е и тригонометрические функции синуса и косинуса:

e^>αi= cos(α) + i sin(α)

Нетрудно показать, что если мы изобразим окружность единичного радиуса на комплексной плоскости, то на вещественной оси X будет откладываться косинус угла α, на мнимой оси Y — синус угла α. По-видимому, эта формула была открыта несколькими учеными независимо друг от друга в XVIII веке. В 1748 году Эйлер получил ее в результате преобразований степенного ряда, однако никто не смог представить эту формулу на комплексной плоскости. Столь простая идея представления комплексных чисел в декартовых координатах появилась позднее, примерно в 1800 году, благодаря Жану Роберу Аргану. Именно тогда математики впервые смогли увидеть графическое отображение одной из прекраснейших формул математики.

BATSCHELET, Е., Introduction to Mathematics for Life Scientists, Berlin-Heidelberg, Springer-Verlag, 1971.

BAZIN, M. (ed.), Mathematics in Microbiology, Londres, Academic Press, 1983.

BRIGGS, J., PEAT F. D., Turbulent Mirror. An Ilustrated Guide to the Chaos Theory and the Science of Wholeness, Nueva York, Harper & Row Publisher, 1989.

LAHOZ-BELTRA, R., Bioinformática. Simulatión, vida artificial e inteligencia artificial, Madrid, Ediciones Díaz de Santos, 2004.

—: ¿Jega Darwin a los dados? Madrid, Nivola, 2008.

—: Turing. Del primer ordenador a la inteligencia artificial, 2^>a editión, Madrid, Nivola, 2009.

MARTINEZ CALVO, M.C., PÉREZ DE VARGAS, A., Métodos matemáticos en biología, Madrid, Centro de Estudios Ramón Areces, 1993.

MARTINEZ CALVO, M.C., FERNÁNDEZ BERMEJO, E., GONZÁLEZ MANTEGIA, M.T., LAHOZ-BELTRA, R., PERALES GRAVAN, C., Matemáticas básicas para biólogos, CD-ROM. Innovación Educativa (ISBN 84-7491-786-7), Madrid, Editorial Complutense, 2005.