Строение и законы Вселенной - страница 92

Здесь важно определить уровень размерности, где указанный цифровой счет производится. Например там, где присутствует гладкая с точки зрения технических целей поверхность, при приближении измерительного эталона к размеру атомных частиц поверхность становится достаточно сложной и не совсем ровной. Значит, здесь следует решить более общую задачу, такую как выбор или создание системы координат, назначение эталона единицы величины и «сшивание» решений в особых точках.

Задачи типа определения, где какая поверхность у кольца Мебиуса, или геометрической фантазии Эшера очень интересны, познавательны и стимулируют воображение на создание оригинальных идей и решений. Однако здесь допускается одна маленькая хитрость — не указывается, в какой системе координат все это существует, так как в этом случае вся таинственность пропадает.

Если мы, например, рассмотрим кольцо Мёбиуса во внешней трехмерной координатной системе с фиксированным положением нуля отсчета и «+» или «-», то внешним или внутренним будет проекция поверхности на соответствующую плоскость. И всё! Это дает абсолютно однозначное решение. Если положение кольца изменилось, соответственно изменятся и положения проекций. Если система координат связана с поверхностью кольца, то там вообще сложная, но двухмерная задачка. Все зависит от формы и полноты задания граничных условий и даже от более точного определения, что считать наружной, а что — внутренней стороной.

Гипотеза Пуанкаре о соразмерности топологически разных объектов также является очень важной практической задачей реальной человеческой деятельности. Например, как из материала поверхности шара скроить тороид, при этом выполнив какой-то критерий вроде одного разреза или равенства площадей поверхностей. Однако перевод решения в N-мерное (более трех) пространство делает эту задачу более подходящей для развития математической логики, а не для решения практических задач, реализация которых все равно происходит в трехмерном мире.

В следующей задаче производится попытка связать законы микро- и макромиров на основе системы непротиворечивых уравнений.

Сразу отметим, что в поставленной коллективом ученых из Clay Mathematics Institute задаче отсутствует математическая запись уравнения, которое должно быть уточнено или расширено (этим, кстати говоря, грешат многие заказчики научных и технологических решений, не затрудняющие себя определением граничных условий задачи, тем самым-как бы «размывая» цель исследования и затрудняя поиск приемлемого ответа). Э го также дает возможность недобросовестному заказчику отказать в выдаче обещанного вознаграждения.

В каноническом виде уравнение Навье — Стокса определяет движение несжимаемой вязкой жидкости и записывается в виде

где v — вектор скорости; t— время; F — вектор напряженности массовых сил; ρ — плотность среды; Р — гидродинамическое давление; n — кинематическая вязкость.

В соответствии с определением в исследуемой жидкости должно выполняться условие несжимаемости

divV = 0

соответствующее определению «ньютоновской жидкости», и условие распределения напряжений, соответствующее определению «ньютоновской жидкости».

При движении потоков вблизи твердых границ на неподвижных границах за счет прилипания частиц выполняется условие прилипания

v=o,

а на подвижных границах

V = V_>t

где V_>t — скорость точек твердой поверхности.

Таким образом, получается замкнутая система уравнений, позволяющая при определенных граничных условиях вычислить сопротивление в канале или для тел, движущихся в вязкой жидкости. Ограничениями, влияющими на точность решения, являются:

• узкие рамки исследуемого диапазона скоростей: например, для газов V ≤ 0,1÷0,2 V звука, так как далее необходимо учитывать сжимаемость;

• нелинейные геометрические эффекты — вихревые системы за движущимся или обтекаемым телом, геометрические характеристики которого определяются взаимозависимыми характеристиками, в первую очередь, скоростями в потоке;

• нелинейные динамические эффекты — отрыв и перенос вихрей, изменение температуры, рассеивание энергии в потоке и на границах;