В области вблизи единицы тоже не для всех объектов ясно, что надо прибавить или убавить для того, чтобы исследуемый объект оставался именно тем, чем мы его считаем.
В гипотезе, естественно, есть определенный практический смысл, но возникает вопрос о полноте отображения граничных условий при исчезающе малых их значениях или вообще при их отсутствии, а это уже — типичный случай выбора стратегии аналогово-цифрового аппарата.
Если мы натянем резиновую ленту вокруг поверхности яблока, то затем мы можем медленно стянуть ее вниз, в точку без разрыва, и не допуская соскальзывания с поверхности. Если же мы представим себе, что в другой руке такая же лента натянута вокруг бублика, то понятно, что невозможно стянуть резиновую ленту к такой же точке без разрыва ленты или разрушения бублика. Мы говорим, что поверхность яблока «просто соединена» (непрерывна), а поверхность бублика — нет. Пуанкаре больше ста лет назад понял, что двухмерная сфера существенно характеризуется этим свойством «простого соединения», и поставил вопрос о трехмерной сфере (набор точек в четырехмерном пространстве на одинаковом расстоянии от рассматриваемой фигуры-оригинала). Этот вопрос очень труден, и математики бьются над его решением до сих пор.
В XX веке математики открыли эффективные пути исследования форм сложных объектов. Основным является вопрос о том, до какой степени сложности мы можем приближать предлагаемые объекты, соединяя их вместе из простых геометрических блоков увеличивающихся размеров. Эта технология обещает быть очень сильной и должна привести к образованию мощных инструментов, которые позволят математикам достичь большого прогресса в каталогизации всего многообразия объектов исследования. К сожалению, геометрические начала этого процесса я рамках данного представления остаются неясными. В некоторых случаях приходится подставлять куски, не имеющие никакой геометрической интерпретации. В предположении Ходжи утверждается, что для каждого вида пространства, определяемого алгебраическим многообразием, фигуры, называемые кругами Ходжи, рационально-линейно формируются из геометрических фигур, называемых алгебраическими кругами.
В обеих задачах ставится очень важный практический вопрос о возможности описаний и вычисления многомерной поверхности, что необходимо для расчетов пространственных взаимодействий, например, химических реакций, тепло- и массопереноса и т. д. Здесь ответ на вопрос определяется рациональным выбором системы координат. Обычно используются прямоугольные системы, а полярные существенно упрощаются, что делает неизбежными ошибки даже при наиболее простых работах на поверхности геоида (Земли). Применение же более сложных систем неевклидовой геометрии, четырехмерных и более пространств либо сопровождается значительным увеличением объемов расчетов, либо ведет к многозначности ответа, либо происходит и то и другое вместе.
Предложения о сведении любой структуры к набору достаточно простых (в смысле математического описания) геометрических фигур являются перспективными. Но! По формальным признакам, что осложняет перенос решений в ЭВМ, возникают особые точки>; где решения неоднозначны.
Предложенная задача Ходжи и является одной из попыток как-то скорректировать неоднозначность решения. При ее решении представляется наиболее разумным применить аналого-цифровой подход.
Известная нам Вселенная в своей основе состоит из полевых структур, в частности атомных и субатомных, образующих и так называемую материю-субстрат с более или менее определенными границами. Каждая частица имеет границу объема, далее которой она перестает быть сама собой. Определение этой границы является аналоговой операцией, констатирующей, где происходит переход количества в качество. Далее происходит просто цифровой счет. Это и есть наиболее общее решение задачи. Автор считает, что, скоординировав работу известных ему специалистов и финансируя эту работу так, как она того заслуживает, и посвятив ей лет 5–6, он мог бы получить как одно из решений этой задачи, так и несколько сопутствующих решений задач, здесь не приведенных по определению эталонных значений и систем координат, но предпочитает оставить эту рутинную (в хорошем смысле слова) работу коллективам математиков и физиков. К тому же примерная стоимость экспериментов и расчетов на 2 порядка превысит размер объявленной премии.
