Солнечная система (Астрономия и астрофизика) - страница 11
Рис.5
Вектор ускорения w>s, сообщаемого Q со стороны s-гo кубика, равен согласно (1)
w>s=—(Gm>s/r>s>3)r>s (6)
Поясним, откуда взялся минус и куб в знаменателе. Модуль ускорения равен Gm>s/r>s>2, и он умножен на единичный вектор —r>s/r>s направления от массы m>s к точке Q (рис.5). Полное ускорение равно векторной сумме (6) по всем кубикам. Разумеется, так получается приближенная величина. Чтобы вычислить точную, нужно перейти к пределу, устремляя ребро кубика к нулю. В пределе получим тройной интеграл по телу Т. С помощью хорошего компьютера интеграл взять нетрудно. Но ведь даже для данного тела его нужно считать в огромном количестве точек пространства. Чаще всего идут другим путем. Как уже говорилось, Ньютон сумел вычислить интеграл для шара со сферическим распределением плотности и убедился, что внешние частицы шара притягивают в точности как материальная точка той же массы, помещенная в его центре. А дальше П.-С. Лаплас предложил следующую схему определения гравитационного поля Т. Во-первых, проще вместо векторного поля ускорений иметь дело со скалярным полем гравитационной потенциальной энергии Е>р единицы массы Q. Оба поля однозначно определяют друг друга. Во-вторых, представим поле в виде ряда, т.е. суммы бесконечного числа слагаемых:
Е>р=V>0+V>1+V>2+… (7)
Здесь начальное слагаемое описывает притяжение шара с центром в центре масс Т и нам уже известно из формулы (4): V>0=—К>2/r. В отличие от силы, потенциал шара убывает обратно пропорционально первой степени расстояния от центра масс Т. Следующие слагаемые V>s убывают обратно пропорционально r>s+1, причем V>1=0. Если Q далеко, то достаточно взять несколько первых членов (7) или даже только начальный член, чтобы получить удовлетворительную точность. Иными словами, гравитационное поле любого тела с удалением от него все больше напоминает поле шара, в полном соответствии с наблюдением древних софистов, что издали и квадратная башня кажется круглой. Для близких Q (например, если Т — Земля, Q — ИСЗ) для высокоточного определения гравитации надо брать десятки и сотни слагаемых. Каждое из них представляет не очень сложную функцию координат точки Q. Например,
V>2=(A>1x>2+A>2y>2—(A1+A2)z>2+A>3xy+A>4yz+A>5zx)/r>5
Важно, что V>s содержит числовые коэффициенты. Например, в V>2 их пять: A>1÷А>5. Эти коэффициенты можно определить, измеряя гравитационный потенциал, или ускорение на поверхности тела или вблизи нее. А можно следить за движением его искусственных спутников. В любом случае мы получаем систему многих алгебраических уравнений со многими неизвестными (коэффициентами типа A>s). Ее решение непросто, но современная математика и вычислительная техника с этим справляется.
Итак, мы описали два способа представления гравитационного поля любого тела: тройным интегралом и рядом Лапласа. Существует еще несколько способов, и в каждой конкретной задаче можно выбрать оптимальный.
Перейдем к вопросу о форме, которую придает гравитация небесному телу. Пусть выполнены следующие три допущения. Во-первых, тело изолировано и компактно, т.е. никакие другие тела на него не действуют, а самогравитация значительна. Во-вторых, тело находится в жидком, газообразном или пластическом состоянии. В третьих, в теле нет источников энергии. Насколько реальны эти допущения?
1. Полной изолированности, конечно, нет. В качестве примера сравним силы, с которыми притягивают каждого из нас Земля (F>1) и Луна (F>2). В подлунной точке (там, где Луна видна в зените) в момент, когда Луна в перигее своей орбиты, F>2 максимальна. Но и тогда F>2/F>1≈4×10>->6. На самом деле влияние Луны на форму Земли еще меньше. Именно оно вызывает приливы, о чем еще будет рассказано. Сейчас достаточно заметить, что изолированность в Солнечной системе выдержана в очень хорошем приближении.
2. Солнце состоит из газа, планеты-гиганты тоже, с возможным включением жидкой и твердой фазы в центральных слоях, что несущественно. Земля же тверда, и только в центральной части присутствует жидкая фаза. Но на длительные воздействия Земля отвечает как пластическое тело, течет, как воск. — А горы? — спросите вы. Да, некоторые напряжения твердая земля может выдержать. Горы не сплющиваются, впадины не заполняются у нас на глазах. Но высота гор не может превзойти значения порядка 10 км, иначе давление превысит критическое, вещество подошвы станет пластическим, начнет расползаться под действием веса, и в результате высота горы уменьшится.
