Солнечная система (Астрономия и астрофизика) - страница 10
При таком соглашении
Е>к=υ>2/2 и Е>р=—К>2/r, (4)
где К =√GM, а М — масса S. Если расстояния измерять в километрах, время — в секундах, то К=364305, если S — Солнце; К = 631,35, если S — Земля. На практике часто вместо Е используют более наглядную величину — скорость υ=√2Е>к. Критическому значению Е=0 отвечает вторая космическая скорость υ>II (называемая также скоростью убегания или параболической скоростью). Понятно, что υ>II — не число, а зависящая от расстояния до S величина: скажем, для спутника Земли υ>II=11 км/с вблизи поверхности планеты, но υ>II=1,5 км/с у орбиты Луны. Полезно знать, что первая космическая (круговая) скорость υ>I и параболическая скорость υ>II различаются только множителем √2: υ>II=υ>I√2≈1,41υ>I
Между круговой и параболической скоростями есть принципиальная разница. Чтобы двигаться по окружности, круговую скорость следует направить перпендикулярно радиусу-вектору, соединяющему центральное тело и частицу. Чтобы уйти на бесконечность, достаточно развить параболическую скорость; при этом ее направление безразлично, лишь бы избежать столкновения с S.
За исключением специального случая (когда скорость направлена точно к S или точно в противоположную сторону) орбиты оказались кривыми линиями. К тому же, движение по орбитам неравномерно. Самая большая скорость — в перицентре (ближайшей к S точке орбиты), и чем дальше от перицентра, тем она меньше. Наименьшая скорость в случае эллипса — в апоцентре (наиболее удаленной от S точке орбиты).
Дадим количественные соотношения. Расстояние r>р от S до перицентра выражается через большую полуось а (среднее расстояние от движущегося тела до S) и эксцентриситет е по формуле r>p=а(1—е). Расстояние r>а от S до апоцентра r>а=а(1+е). Скорости в экстремальных точках (апсидах) эллипса составляют:
υ>p=υ>I(a)√(1+e)/√(1—e) и υ>a=υ>I(a)√(1—e)/√(1+e)
Здесь υ>I(a) — круговая скорость на расстоянии от a до S. В свою очередь υ>I убывает обратно пропорционально квадратному корню из расстояния до S: υ>I=K/√r.
Между большой полуосью и периодом обращения существует связь, открытая еще И. Кеплером в начале XVII в.:
Р = 2π(а>3/2/K) (5)
Разумеется, выражение постоянной К через G и М — заслуга Ньютона.
Если эллипс близок к окружности, различие скоростей в разных точках орбиты невелико. У Земли в ее движении вокруг Солнца е=0,016, υ>p=31км/с, υ>a=29км/с. У кометы Галлея эллипс очень вытянут: е=0,96; так что υ>p=51км/с, υ>a=1км/с. Такой характер ускорений и замедлений на орбите понять легко, если воспользоваться аналогией с вращением грузика на стержне вокруг горизонтальной оси. Внизу скорость наибольшая, наверху — наименьшая. В нашей задаче «вниз» — это направление к притягивающему центру, «вверх» — прочь от него. Причина изменений скорости и для планеты, и для маятника одна: закон сохранения энергии. «Наверху» потенциальная энергия гравитации максимальна, «внизу» — минимальна. Для кинетической энергии соотношение противоположно.
Набор орбит оказался небольшим. В век космонавтики мы можем выбирать высоту или период обращения искусственных небесных тел в широких пределах, но в силу (5) по отдельности, а не вместе. Наименьший период обращения ИСЗ — полтора часа — соответствует круговой орбите минимальной высоты. Максимального периода теоретически нет, но подавляющее большинство ИСЗ имеют период не более 24 час.
Многие искусственные спутники Земли (ИСЗ) летают низко, почти царапая Землю: в масштабе школьного глобуса (1:50000000) не далее сантиметра от него. Тут уж даже Землю шаром считать нельзя, хоть на глазок это и незаметно. А вот Юпитер и особенно Сатурн обладают отчетливо видимым сжатием. Одним словом, чтобы идти дальше, надо разобраться с формой небесных тел и их притяжением.
Начнем с последнего. Пусть нам известна форма и строение протяженного небесного тела Т. Как определить силу тяготения, с которой Т притягивает какую-либо частицу Q? Перейдем к ускорению — оно не зависит от массы пробной частицы (уникальное свойство гравитационного поля, открытое Г. Галилеем). Поэтому можно считать, что
