Синергетика. Основы методологии - страница 8
Любой динамический процесс такого типа в пределе выходит на стационарную точку, >μ>p = >μ>p-1, или на циклическую траекторию >μ>p = >μ>p-к, где к можно считать периодом цикла.
В пределе очень большого числа состояний область изменения параметра целого может быть аппроксимирована континуумом. В этом случае количество типов траекторий становится значительно больше, чем при дискретном задании. Именно здесь появляются странные аттракторы.
Значительный практический интерес представляет использование аппроксимирующих функций, имеющих разрывы функций и их производных в конечном числе точек. В этом случае особые точки отображений и аттракторы приобретают дополнительные особенности.
В случае гладкой зависимости параметра целого от времени динамика его изменения может быть описана дифференциальным уравнением d>μ/df = f(>μ, t), где f(>μ,t) — заданная гладкая функция.
Решение и качественный анализ этого уравнения позволяют не только приближенно описывать динамику структуры, но и в какой-то степени предсказывать её будущее. Если структура или система развивается по внутренним законам (воздействие внешней среды (поля) на неё пренебрежимо мало либо носит стационарный характер), то для её описания может быть использовано автономное дифференциальное уравнение d>μ/df = f(>μ).
В случае непрерывной аппроксимации наиболее удачным подходом является построение двумерных фазовых диаграмм, по одной из осей которых откладывается сам параметр, а по другой — его производная. Для автономных объектов фазовые траектории от времени не зависят.
В некоторых случаях дифференциального уравнения первого порядка для адекватного описания динамики параметра целого оказывается недостаточно. В этом случае можно перейти к дифференциальным уравнениям более высоких порядков или к введению комплексного параметра целого. В обоих случаях это математически эквивалентно увеличению числа координат.
Качественный анализ итерационной системы или нелинейного дифференциального уравнения позволяет ещё до их решения определить особенности поведения моделируемой системы как нелинейного объекта не только в прошлом и настоящем, но и в будущем.
Начнём анализ с автономной итерационной системы.
Выполнение условия >μ>n = F(>μ>n) означает, что система находится в стационарном состоянии.
Стационарное состояние называется устойчивым и обозначается >μ>SU, если существует некоторая область (окрестность >μ>SU) в фазовом пространстве такая, что, как только процесс в какой-то момент времени пришел в состояние из этой области, то он начинает стремиться к устойчивому стационарному состоянию параметра целого >μ>SU. Если такой области нет, т. е. если микроотклонение от точки, соответствующей стационарному значению >μ>SU, приводит к существенным макроизменениям в течении процесса, состояние системы является неустойчивым стационарным состоянием.
В общем случае график >μ>2 = F(>μ>1), соответствующий итерационному соотношению, иллюстрирует закон эволюции системы и позволяет определять стационарные состояния системы и их тип.
Если кривая >μ>2 = F(>μ>1), определяемая соответствующим итерационным соотношением >μ>n+1 = F(>μ>n), пересекает прямую >μ>2 = >μ>1, в точке >μ>S и |F>1(>μ>1)| < 1, то >μ>S — устойчивая стационарная точка, а если |F>1(>μ>1)| > 1, то неустойчивая. Рассмотрим подробнее математическую модель автономного дифференциального уравнения первого порядка d>μ/df = f(>μ). Его общее решение имеет вид.
Если для какой-либо структуры в определенные моменты удалось экспериментально определить как величину выбранного нами параметра целого, так и его производной по времени, то затем, аппроксимируя функцию f(>μ), например, при помощи дробно-рациональной функции
можно найти коэффициенты аппроксимации a>i, b>i, соответствующие экспериментальным данным.
Во многих случаях поведение системы вблизи особых точек, соответствующих нулям или полюсам функции f(>μ) описывается степенной функцией с рациональным или иррациональным показателем степени или логарифмической функции. При этом появляется многозначность поведения исследуемой модели. Величины f(
