Пятьсот двадцать головоломок - страница 103
405. На рисунке показано, каким образом военный корабль может потопить 49 судов за 12 прямых курсов, закончив движение в той же точке, откуда начал. Двигайтесь вдоль каждой прямой до того места, где он меняет направление.
[Доказано, что можно соединить все точки, расположенные в виде квадрата n×n, непрерывным путем, состоящим из 2n- 2 отрезков прямой, для всех n > 2. Случай n = 3 представляет собой хорошо известную головоломку, которую большинству решить не удается, поскольку те, кто решает, не всегда догадываются продолжить отрезки за пределы квадрата. 5 × 5 — это наименьший квадрат, в котором линия из 2n - 2 отрезков может не выходить за его пределы.
Можно построить замкнутый путь (у такого пути концы совпадают, как в приведенной выше головоломке) из 2n - 2 отрезков для всех квадратов со стороной, большей 3. Квадрат 7 × 7 представляет собой наименьший квадрат с нечетной стороной, для которого существует замкнутый путь из 2n - 2 отрезков, не выходящий за пределы данного квадрата. (Наименьший квадрат с четной стороной, для которого можно нарисовать подобный путь, равен 6 × 6.)
Приведенное здесь Дьюдени решение имеется в книге Сэма Лойда «Cyclopedia of Puzzles» как решение одной из его головоломок. Лойд говорит, что он впервые опубликовал эту головоломку в 1908 г., и отзывается о данном решении как об «удивительно трудном трюке». Позаимствовал ли Лойд свою головоломку у Дьюдени или наоборот, еще не установлено.
Обратите внимание на то, что это решение для случая 7 × 7 является одновременно решением задачи о замкнутом «пути ферзя» на шахматной доске 7 × 7 за 2n- 2 ходов. Замкнутый путь ферзя за 2n- 2 ходов возможен также на любой доске со сторонами, большими 7. Замкнутый путь ферзя за 14 ходов на обычной доске 8 × 8 был впервые найден Сэмом Лойдом, который считал эту задачу одной из лучших своих головоломок.
Число 2n - 2 является необходимым также для любой квадратной доски. — М. Г.]
406. Из дома H до любой из точек, расположенных к северу или к востоку от него, можно добраться лишь одним путем. Поэтому я в этих точках поставил цифру 1. Теперь возьмем второй столбец и заметим, что существуют 3 пути, ведущие во вторую снизу точку, 5 — в следующую, 7 — в следующую за ней и т. д., причем при переходе в очередную расположенную выше точку число путей увеличивается на 2. То же самое применимо и ко второй снизу строке. Выпишем везде соответствующие цифры. Далее, до центральной точки можно добраться 13 путями, поскольку мы можем к ней подойти или из точки снизу (5 путей), или из точки слева (5 путей), или из точки слева внизу по диагонали (3 пути), что в сумме и даст 13 путей. Таким образом, все, что нам осталось сделать,- это выписывать по очереди в каждой точке сумму трех чисел, расположенных в ближайших точках, из которых можно непосредственно попасть в данную. Отсюда мы и получим, что общее число путей, ведущих из H в C, равно 321.
407. На рисунке показано, как лучше всего разрезать сеть. Нетрудно видеть, что 8 разрезов от A до B делят сеть на 2 части.
408. Можно заметить, что каждый участок соединен с остальными четным числом мостов (2, 4 или 6); исключение составляют участки C и L, в которые ведут по 3 моста (нечетное число). Следовательно, чтобы пройти по каждому мосту один и только один раз, необходимо начинать и заканчивать маршрут в C и L, где как раз и расположены дома наших двух приятелей. Так, отправляясь из
