Пространство. Время. Движение - страница 35

от центра масс вместо х от начала координат. Чтобы это выяснить, мы должны написать

x_>i=x'_>i+X_>ц>.>м>..

Возводя это выражение в квадрат, находим

x^>2_>i=x'^>2_>i+2X_>ц._>мх'_>i+Х^>2_{>ц>. >м>.}.

Что получится, если умножить его на m_>iи просуммировать по всем i? Вынося постоянные величины за знак суммирования, находим

I_>x=Sm_>ix_>i+2X_>ц.>>м. Sm_>ix_>i+X^>2_>ц.>>м. Sm_>i.

Третью сумму подсчитать легко; это просто МХ^>2_>ц..м.. Второй член состоит из двух сомножителей, один из которых Sm_>ix_>i; он равен x'-координате центра масс. Но это должно быть равно нулю, ведь х' отсчитывается от центра масс, а в этой системе координат среднее положение всех частиц, взвешенное их мас­сами, равно нулю. Первый же член, очевидно, представляет собой часть х от I_>ц. Таким образом, мы и приходим к фор­муле (19.7).

Давайте проверим формулу (19.7) на одном примере. Прос­то проверим, будет ли она применима для стержня. Мы уже нашли, что момент инерции стержня относительно его конца должен быть равен ML^>2/3. А центр масс стержня, разумеется, находится на расстоянии L/2. Таким образом, мы должны полу­чить, что МL^>2/3=МL^>2/12+М(L/2)^>2. Так как одна четвертая + одна двенадцатая = одной третьей, то мы не сделали ника­кой грубой ошибки.

Кстати, чтобы найти момент инерции (19.5), вовсе не обя­зательно вычислять интеграл. Можно просто предположить, что он равен величине ML^>2, умноженной на некоторый неизвестный коэффициент g. После этого можно использовать рассуждения о двух половинках и для момента инерции (19.6) получить коэф­фициент ^>1/_>4g. Используя теперь теорему о параллельном переносе оси, докажем, что g=^>1/_>4g+^>1/_>4, откуда g=^>1/_>3. Всегда можно найти какой-нибудь окольный путь!

При применении теоремы о параллельных осях важно пом­нить, что ось I_>ц должна быть параллельна оси, относительно которой мы хотим вычислять момент инерции.

Стоит, пожалуй, упомянуть еще об одном свойстве, которое часто бывает очень полезно при нахождении момента инерции некоторых типов тел. Оно состоит в следующем: если у нас есть плоская фигура и тройка координатных осей с началом коор­динат, расположенным в этой плоскости, и осью r, направлен­ной перпендикулярно к ней, то момент инерции этой фигуры относительно оси z равен сумме моментов инерции относительно осей х и у. Доказывается это совсем просто. Заметим, что

(поскольку все z_>i=0). Аналогично,

Момент инерции однородной прямоугольной пластинки, на­пример с массой М, шириной w и длиной L относительно оси, перпендикулярной к ней и проходящей через ее центр, равен просто

поскольку момент инерции относительно оси, лежащей в плос­кости пластинки и параллельной ее длине, равен Mw^>2/12, т. е. точно такой же, как и для стержня длиной w, а момент инерции относительно другой оси в той же плоскости равен ML^>2/12, такой же, как и для стержня длиной L.

Итак, перечислим свойства момента инерции относительно данной оси, которую мы назовем осью z:

1. Момент инерции равен

2. Если предмет состоит из нескольких частей, причем момент инерции каждой из них известен, то полный момент инерции равен сумме моментов инерции этих частей.

3. Момент инерции относительно любой данной оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, про­ходящей через центр масс, плюс произведение полной массы на квадрат расстояния данной оси от центра масс.

4. Момент инерции плоской фигуры относительно оси, пер­пендикулярной к ее плоскости, равен сумме моментов инерции относительно любых двух других взаимно пер­пендикулярных осей, лежащих в плоскости фигуры и пе­ресекающихся с перпендикулярной осью.

Таблица 19,1 · простые примеры моментов инерции

В табл. 19.1 приведены моменты инерции некоторых элементарных фигур, имеющих однородную плотность масс, а

табл. 19.2 — моменты инерции некоторых фигур, которые могут быть получены из табл. 19.1 с использованием пере

численных выше свойств.

Таблица 19.2 · моменты инерции, полученные из табл. 19.1

§ 4. Кинетическая энергия вращения

Продолжим изучение динамики вращения. При обсуждении аналогии между линейным и угловым движением в гл. 18 мы использовали теорему о работе, но ничего не говорили о кинети­ческой энергии. Какова будет кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси с угловой скоростью w? Используя нашу аналогию, можно немедленно угадать правильный ответ. Момент инерции соответствует массе, угло­вая скорость соответствует обычной скорости, так что кине­тическая энергия должна быть равна 1/