Пространство. Время. Движение - страница 30

Суммируя l_>iдля всех частиц, получаем

L=Iw, (18.21)

где

Это выражение очень похоже на формулу для импульса, который равен произведению массы на скорость. Скорость при этом заменяется на угловую скорость, а масса, как видите, заменяется на некоторую новую величину, называемую мо­ментом инерции I. Вот что играет роль массы при вращении! Уравнения (18.21) и (18.22) говорят нам, что инерция вращения тела зависит не только от масс составляющих его частичек, но и от того, насколько далеко расположены они от оси. Так что если мы имеем два тела равной массы, но в одном из них массы расположены дальше от оси, то его инерция вращения будет больше. Это легко продемонстрировать на устройстве, изобра­женном на фиг. 18.4.

Фиг. 18.4. Зависимость «инерции вращения» от плеча масс.

Масса Mв этом устройстве не может па­дать слишком быстро, потому что она должна крутить тяжелый стержень. Расположим сначала массы mоколо оси вращения, причем грузик Mбудет как-то ускоряться. Однако после того, как мы изменим момент инерции, расположив массы mгораздо дальше от оси, мы увидим, что грузик Mускоряется гораздо медленнее, чем прежде. Происходит это вследствие возрастания инертности вращения, которая составляет физический смысл момента инерции — суммы произведений всех масс на квадраты их расстояний от оси вращения.

Между массой и моментом инерции имеется существенная разница, которая проявляется удивительным образом. Дело в том, что масса объекта обычно не изменяется, тогда как момент инерции легко изменить. Представьте себе, что вы встали на стол, который может вращаться без трения, и держите в вытянутых руках гантели, а сами медленно вращаетесь. Можно легко из­менить момент инерции, согнув руки; при этом наша масса останется той же самой. Когда мы проделаем все это, то закон сохранения момента количества движения будет творить чуде­са, произойдет нечто удивительное. Если моменты внешних сил равны нулю, то момент количества движения равен моменту инерции I_>1, умноженному на угловую скорость ш_>1, т. е. ваш момент количества движения равен I_>1w_>1. Согнув затем руки, вы тем самым уменьшили момент инерции до величины I_>2. Но поскольку из-за закона сохранения момента количества движения произведение Iw должно остаться тем же самым, то I_>1w_>1 должно быть равно I_>2w_>2. Так что если вы уменьшили момент инерции, то ваша угловая скорость в результате этого должна возрасти.

§ 1. Свойства центра масс

§ 2. Положение центра масс

§ 3. Вычисление момента инерции

§ 4. Кинетическая энергия вращения

§ 1. Свойства центра масс

В предыдущей главе мы установили факт существования некоторой замечательной точки, называемой центром масс. Она замечательна тем, что если на частицы, образующие тело (неважно, будет ли оно твердым или жидким, звездным скоплением или чем-то другим), дей­ствует великое множество сил (конечно, имеют­ся в виду только внешние силы, поскольку все внутренние силы компенсируют друг друга), то результирующая сила приводит к такому уско­рению этой точки, как будто в ней сосредо­точена вся масса тела М. Давайте теперь обсу­дим свойство центра масс несколько подробнее.

Положение центра масс (сокращенно ц. м.) определяется уравнением

Это, разумеется, векторное уравнение, т. е. фактически три уравнения — по одному для каждого из трех направлений. Но мы будем рассматривать только x-направление; если вы поймете, что происходит в x-направлении, то поймете и два остальных. Что означает равен­ство Х_>ц>.>м>.=Sm_>ix_>i/Sm_>i? Предположим на ми­нуту, что тело разделено на маленькие кусочки с одинаковой массой m, причем полная масса будет равна числу таких кусочков N, умножен­ному на массу одного кусочка, скажем 1 г, или какую-то другую единицу. Тогда наше уравне­ние просто означает, что нужно взять коорди­наты х всех кусочков, сложить их и резуль­тат разделить на число кусочков, т. е. X_>ц.м.=mSx_>i/mN=Sx_>i/N. Иными словами, если массы кусочков равны, то Х_{>ц. м.>-} будет просто средним арифметическим x-коорди­нат всех кусочков. Но предположим, что один из кусочков вдвое тяжелее, чем каждый из остальных. Тогда в нашу формулу его координата будет входить с коэффициентом 2, т. е. в суммах ее нужно учитывать дважды. Нетрудно понять, почему это про­исходит. Ведь тяжелый кусочек можно представить себе как бы состоящим из двух легких, таких же, как и все остальные, так что, когда мы вычисляем среднее, его координату