Пространство. Время. Движение - страница 29

в точку Q (фиг. 18.3)? Как велика площадь той области, которую «заметает» прямая, соединяющая пла­нету с Солнцем? Пренебрегая площадью QQ'P, которая очень мала по сравнению с OPQ, находим, что площадь этой области равна половине основания PQ, умноженного на высоту OR. Другими словами, «заметенная» площадь равна половине про­изведения скорости на ее плечо. Так что скорость изменения этой площади пропорциональна моменту количества движения, который остается постоянным. Итак, мы получим, что закон Кеплера о равных площадях за равные промежутки времени является просто словесным описанием закона сохранения мо­мента количества движения, когда моменты внешних сил от­сутствуют.

§ 4. Закон сохранения момента количества движения

Посмотрим теперь, что получается в случае большого коли­чества частиц, т. е. когда тело состоит из множества частичек со множеством сил, действующих между ними и извне. Разуме­ется, мы уже знаем, что момент силы, действующий на любую i-ю частицу (т. е. произведение силы, действующей на i-ю час­тицу, на ее плечо), равен скорости изменения момента количе­ства движения этой частицы, а момент количества движения i-й частицы в свою очередь равен произведению импульса час­тицы на его плечо. Допустим теперь, что мы сложили моменты сил t_>i- всех частиц и назвали это полным моментом сил t. Эта величина должна быть равна скорости изменения суммы момен­тов количества движения всех частиц L_>i. Эту сумму можно принять за определение новой величины, которую мы назовем полным моментом количества движения L. Точно так же, как импульс тела равен сумме импульсов составляющих его частиц, момент количества движения тела тоже равен сумме моментов составляющих его частиц. Таким образом, скорость изменения полного момента количества движения L равна полному мо­менту сил

С непривычки может показаться, что полный момент сил — ужас­но сложная штука. Ведь нужно учитывать все внутренние и внешние силы. Однако если мы вспомним, что по закону Ньютона силы действия и противодействия не только равны, но и (что особенно важно!) действуют по одной и той же прямой в противоположных направлениях (неважно, говорил ли об этом сам Ньютон или нет, неявно он подразумевал это), то два мо­мента внутренних сил между двумя взаимодействующими час­тицами должны быть равны друг другу и направлены противо­положно, поскольку для любой оси плечи их будут одинаковы. Поэтому все внутренние моменты сил взаимно сокращаются и получается замечательная теорема: скорость изменения момента количества движения относительно любой оси равна моменту внешних сил относительно этой же оси!

Итак, мы получили в руки мощную теорему о движении боль­шого коллектива частиц, которая позволяет нам изучать общие свойства движения, не зная деталей его внутреннего механизма, Эта теорема верна для любого набора частиц, независимо от того, образуют ли они твердое тело или нет.

Особенно важным частным случаем этой теоремы является закон сохранения, момента количества движения, который гла­сит: если на систему частиц не действуют никакие внешние моменты сил, то ее момент количества движения остается пос­тоянным.

Рассмотрим один очень важный частный случай набора частиц, когда они образуют твердое тело, т. е. объект, который всегда имеет определенную форму и геометрический размер и может только крутиться вокруг какой-то оси. Любая часть такого объекта в любой момент времени расположена одинако­вым образом относительно других его частей. Попытаемся те­перь найти полный момент количества движения твердого тела. Если масса i-й частицы его равна m_>i, а положение ее (x_>i y_>i,), то задача сводится к определению момента количества движения этой частицы, поскольку полный момент количества движения равен сумме моментов количества движения всех таких частиц, образующих тело. Для движущейся по окружности точки мо­мент количества движения равен, конечно, произведению ее мас­сы на скорость и на расстояние до оси вращения, а скорость в свою очередь равна угловой скорости, умноженной на рас­стояние до оси:

L_>i=m_>iv_>ir_>i=m_>ir