Пространство. Время. Движение - страница 21
Встречаются порой предсказатели судьбы, гадалки, люди, утверждающие, что они могут узнавать будущее; немало чудесных историй рассказывается и о людях, которые внезапно видят перед собой свое воздействуемое будущее. От этого возникает множество парадоксов: ведь если мы знаем, что что-то случится, то наверняка сможем избежать этого, если захотим. На самом же деле ни один провидец будущего не способен узнать даже настоящее! Нам никто не скажет, что сию минуту происходит достаточно далеко от нас, потому что это ненаблюдаемо.
Напоследок я задам вопрос, ответить на который предоставляю вам самим. Если бы внезапно появилась возможность знать, что происходит в области 1 пространства-времени,— возник бы от этого парадокс или нет?
§ 4. Еще о четырехвекторах
Вернемся опять к аналогии между преобразованием Лоренца и вращением пространственных осей. Мы уже убедились, что полезно собирать воедино отличные от координат величины, которые преобразуются так же, как и координаты; эти соединенные величины называют векторами, или направленными отрезками. При обычных вращениях немало величин преобразуется в точности так же, как х, y, z (например, скорость с тремя компонентами х, у, z); при переходе из одной системы координат в другую ни одна из компонент не остается прежней, все они приобретают новые значения. Но «сама» скорость, во всяком случае, более реальна, чем любая из ее компонент, и изображаем мы ее направленным отрезком.
Теперь мы спросим: существуют ли величины, которые преобразуются при переходе от неподвижной системы к движущейся так же, как и х, у, z, t? Наш опыт обращения с векторами подсказывает, что три из этих величин, подобно х, у, z, могли бы представлять собой три компоненты обычного пространственного вектора, а четвертая могла бы оказаться похожей на обычный скаляр относительно пространственных вращений: она бы не изменялась, пока мы не перейдем в движущуюся систему координат. Возможно ли, однако, связать с одним из известных «тривекторов» некоторый четвертый объект (который можно назвать «временной компонентой») таким образом, чтобы вся четверка «вращалась» точно так же, как изменяются пространство и время в пространстве-времени? Мы сейчас покажем, что действительно существует по крайней мере одна такая четверка (на самом деле далеко не одна): три компоненты импульса и энергия в качестве временной компоненты преобразуются вместе и образуют так называемый «четырехвектор». Доказывая это, мы избавимся от с тем же приемом, какой употреблялся в уравнении (17.4). Например, энергия и масса отличаются только множителем с>2и при надлежащем выборе единиц измерения энергия совпадет с массой. Вместо того чтобы писать Е=тс>2, мы положим Е=т. Если понадобится, в окончательных уравнениях можно опять расставить с в нужных степенях.
Итак, уравнения для энергии и импульса имеют вид
Значит, при таком выборе единиц получится
Скажем, если энергия выражена в электронвольтах (эв), то чему равна масса в 1 эв? Она равна массе с энергией покоя 1 эв, т. е. m>0c>2=1 эв. У электрона, например, масса покоя равна 0,511·10>6эв.
Как же будут выглядеть импульс и энергия в новой системе координат? Чтобы узнать это, надо преобразовать уравнения (17.6). Это преобразование легко получить, зная, как преобразуется скорость. Пусть некоторое тело имело скорость v, а мы наблюдаем за ним из космического корабля, который сам имеет скорость u, и обозначаем соответствующие величины штрихами. Для простоты сперва мы рассмотрим случай, когда скорость v направлена по скорости и. (Более общий случай мы рассмотрим позже.) Чему равна скорость тела v' по измерениям из космического корабля? Эта скорость равна «разности» между v и u. По прежде полученному нами закону
v’=(v-u)/(1-uv’) (17-8)
Теперь подсчитаем, какой окажется энергия Е' по измерениям космонавта. Он, конечно, воспользуется той же массой покоя, но зато скорость станет v'. Он возведет v' в квадрат, вычтет из единицы, извлечет квадратный корень и найдет обратную величину
