Рис. 6-15. Фрактальная подделка папоротника. Из Garcia (1991)
Этот новый математический аппарат позволил ученым строить точные модели разнообразных нерегулярных естественных форм. Занимаясь этим моделированием, они повсеместно обнаруживали присутствие фракталов. Фрактальные паттерны облаков, которые изначально воодушевили Мандельбро на поиски нового математического языка, вероятно, самые изумительные. Их самоподобие охватывает семь порядков величин, а это означает, что если границу облака увеличить в 10 000 000 раз, она будет иметь все ту же знакомую форму.
Комплексные числа
Вершиной фрактальной геометрии стало открытие Мандельбро математической структуры, которая обладает ошеломляющей сложностью и все же может быть воспроизведена с помощью очень простой итеративной процедуры. Чтобы понять эту поразительную фрактальную фигуру, известную как множество Мандельбро, необходимо сначала ознакомиться с одним из важнейших математических понятий — комплексными числами.
Открытие комплексных чисел стало восхитительной главой в истории математики28. Когда в средние века возникла алгебра и математики принялись исследовать все виды уравнений и классифицировать их решения, они вскоре столкнулись с задачами, не имевшими решения в рамках множества известных им чисел. В частности, уравнения типа х + 5 = 3 заставили их расширить понятие числа до отрицательных чисел, так чтобы решение могло быть записано как х = -2. В дальнейшем так называемые действительные числа — положительные и отрицательные целые числа, дроби и иррациональные числа (например, квадратные корни или знаменитое число п) — стали представлять как точки на единой плотно населенной числовой оси (рис. 6-16).
— 5/2 1/2 π
— 4–3 -2 -1 0 1 2 3 4
Рис. 6-16 Числовая ось
С таким расширением понятия числа все алгебраические уравнения, в принципе, могли быть решены — за исключением тех, где фигурировали квадратные корни отрицательных чисел. Уравнение х2 = 4 имеет два решения: х = 2 и х = -2; однако для х2 = -4, по всей видимости, не должно быть решения, поскольку ни +2, ни — 2 при возведении в квадрат не дадут -4.
Древние индийские и арабские алгебраисты постоянно встречались с такими уравнениями, но отказывались даже записывать выражения типа, считая их абсолютно бессмысленными. И только в XVI веке квадратные корни отрицательных чисел стали появляться в алгебраических текстах, но и тогда авторы спешили пояснить, что такие выражения на самом деле ничего не означают.
Декарт называл квадратный корень отрицательного числа «мнимым числом» и был уверен, что появление таких мнимых чисел в расчетах означает, что проблема неразрешима. Другие математики использовали термины «фиктивные», «фальшивые» или «невозможные» для обозначения величин, которые сегодня мы, с легкой руки Декарта, все еще называем мнимыми числами.
Поскольку квадратный корень отрицательного числа не может быть помещен ни в одной точке числовой оси, математики, вплоть до XIX столетия, не могли наделить эти величины никаким реальным смыслом. Великий Лейбниц, изобретатель дифференциального исчисления, приписывал выражению мистические свойства, видя в нем проявление Божественного Духа и называя его «этой амфибией между бытием и небытием»29. Столетие спустя Леонард Эйлер, самый плодотворный математик всех времен, выразил ту же мысль в своей «Алгебре» словами хотя и менее поэтичными, но все же содержащими отголосок Чуда:
Следовательно, все такие выражения, как, и т. п., есть невозможные, или мнимые числа, поскольку представляют корни отрицательных величин; по поводу таких чисел мы можем достоверно утверждать, что они ни ничто, ни нечто большее, чем ничто, ни нечто меньшее, чем ничто, из чего неизбежно следует, что они мнимы, или невозможны30.
В XIX веке другой математический гений, Карл Фридрих Гаусс, окончательно и твердо провозгласил, что «этим мнимым сущностям может быть приписано объективное бытие»31. Гаусс, конечно, понимал, что мнимым числам не найдется места на числовой оси, а поэтому он попросту поместил их на перпендикулярную ось, которую провел через нулевую точку основной оси, построив таким образом декартову систему координат. В этой системе все действительные числа располагаются на действительной оси, а все мнимые числа — на мнимой оси (рис. 6-17 называется мнимой единицей и обозначается символом i. А поскольку любой квадратный корень отрицательного числа всегда может быть представлен как = =
