Опционы: Разработка, оптимизация и тестирование торговых стратегий - страница 55

2. Определить площадь основания конуса, выраженную в количестве узлов, расположенных в пределах границы оптимальной области. В примере, представленном на рис. 2.5.3, эта площадь равна количеству ячеек, расположенных в пределах кольца, определяющего уровень 0,25.

3. Зная площадь основания конуса k, можно рассчитать радиус условной окружности, лежащей в основании конуса:

4. Рассчитать площадь боковой поверхности конуса по формуле S = Lπr, где L – это сторона конуса.

Используя теорему Пифагора, можно вычислить сторону конуса по формуле

где h – это высота конуса. Высота конуса нам известна – это значение целевой функции в точке экстремума оптимальной области. Зная длину стороны, можно рассчитать интересующую нас площадь боковой поверхности конуса:

Произведя простые алгебраические преобразования, получим:

Применяя данную методику, необходимо учитывать, что k и h выражены в разных единицах измерения. Первая величина выражена в количестве узлов, а вторая – это значение целевой функции, которое может быть любым (проценты, доллары, любой другой показатель). Поэтому S является безразмерной величиной, которая, хотя и пропорциональна реальной площади оптимальной поверхности (и может использоваться для сравнения между собой разных оптимальных областей), не является площадью в истинном смысле. Во избежание недоразумений в дальнейшем мы будем называть этот показатель «условной площадью». Необходимо, чтобы k и h имели приблизительно одинаковую размерность (например, если максимум целевой функции h = 5, а k = 70, то следует преобразовать k путем нормирования его значения на 10. Кроме того, величина h не должна быть меньше 1, поскольку в противном случае возведение в квадрат (см. формулу 2.5.1) не увеличит, а уменьшит результирующую величину.

Продемонстрируем практическое применение этой методики. В гипотетическом примере, представленном на рис. 2.5.3, левая область состоит из 185 узлов; значение целевой функции узла с максимальной высотной отметкой равно 0,47 (то есть k = 185, h = 0,47). Для правой области k = 266, h = 0,40. Для того чтобы привести переменные k и h к единой размерности, следует разделить k на 100 и умножить h на 10 (чтобы соблюсти условие h > 1). Воспользовавшись формулой 2.5.1, получим:

Показатель условной площади левой оптимальной области меньше показателя правой области. Это означает, что, несмотря на то что левая область имеет большую высоту, правая является предпочтительной. Следовательно, в данном случае преимущество более широкой и покатой поверхности правой области (то есть преимущество по признаку робастности) перевесили преимущество более высокого значения целевой функции левой области.

Теперь рассмотрим пример, основанный на реальных рыночных данных. На правом графике рис. 2.5.2 имеются три области с высотными отметками выше 10 (напомним, что данная оптимизационная поверхность является продуктом трансформации исходной поверхности, полученной путем свертки трех функций полезности). Обозначим их как «левая», «средняя» и «правая». Все три области имеют близкие по величине площади основания (k_>left = 10, k_>middle = 13, k_>right = 14) и высотные отметки (h_>left = 14,09, h_>middle = 13,45, h_>right = 11,91), что делает выбор одной из них затруднительным. Применение нашей методики позволяет сделать объективный выбор. Поскольку k и h имеют одинаковый порядок величин и h > 1, никаких трансформаций не требуется. Подставляя значения в формулу 2.5.1, получим: S_>left = 79,6, S_>middle = 86,9, S_>right = 80,2. Следовательно, выбор средней области является в данном случае предпочтительным. Это решение не тривиально, поскольку данная область не имеет ни наибольшую из трех вариантов площадь основания, ни наибольшую отметку. Интересно, что данный пример демонстрирует комбинированное применение двух методик: вначале оптимизационное пространство было трансформировано путем вычисления отношения среднего к стандартному отклонению, а затем выбор оптимальной области осуществлялся по методу оценки геометрии поверхности.