Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия - страница 7

Туземцы племени мундуруку, какими их увидел французский художник и фотограф Эркюль Флоранс в 1828 г.

Примерно к 323 г. до н. э. слава греческой науки распространилась по всем государствам, покоренным Александром Македонским. Неудивительно, что египетский царь Птолемей I, создав в Александрии крупный культурный центр, привлек туда афинских ученых. Евклид был назначен главой математической школы.

Первым из философов упоминает об Евклиде Прокл, согласно которому Евклид родился приблизительно в 300 г. до н. э. Относительно точности этой даты имеются сомнения, но достоверно известно, что именно Евклид систематизировал математику того времени, дополнил некоторые труды и привел неопровержимые доказательства утверждений, недостаточно подробно изложенных его предшественниками. Он обобщил и систематизировал геометрию своего времени. До Евклида математика представляла собой набор разрозненных вычислений. Благодаря его усилиям она превратилась в совокупность взаимосвязанных систем.

Греческий математик Евклид, изображенный фламандским художником Юстусом ван Гэнтом.

Известно, что Евклид написал 12 книг, из которых до нас дошли лишь пять: «Начала геометрии», «Данные», «О делении», «Явления» и «Оптика». «Начала» стали обязательными к изучению во всех университетах и научных центрах в течение следующих двух тысяч лет[2]. Считается, что существует около полутора тысяч изданий этой книги на греческом, арабском, латыни и других языках. До середины XX века эта книга была второй по числу проданных экземпляров, уступая лишь Библии.

«Начала» — один из древнейших, красивейших и подробнейших научных трудов среди всех, что дошли до наших дней. Они состоят из тринадцати книг: шесть посвящены планиметрии, три — арифметике, одна — измерениям, три — основам стереометрии. Целью Евклида было изложить основы известной на тот момент математики без какого-либо практического применения. Его труд оказался столь совершенным, что был превзойден лишь в конце XIX века[3]. В его теоремах все видели «истинные» подтверждения реальности, и никто не мог предположить, что возможна иная геометрия.

Чтобы попытаться понять, что побудило Евклида посвятить столько сил написанию столь подробного труда, вернемся к моменту, когда пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата с единичной стороной равна √2. Это число не является рациональным, то есть его нельзя представить в виде частного целого и натурального чисел. Говоря языком той эпохи, диагональ квадрата была несоизмерима с его стороной. Этот факт сегодня кажется совершенно не удивительным, но некоторые греки, в частности пифагорейцы, считали его подлинным крахом всей математики, пошатнувшим устои космологии. Евклид, которому были известны работы пифагорейцев, стремясь найти выход из этого кризиса, решил сформулировать прочные основы всей геометрии, которые вкупе с непогрешимой логикой позволили бы получить серию непреходящих верных результатов.

Но для этого требовалось решить небольшую логическую проблему: любое доказательство основывается на одной или нескольких гипотезах, из которых путем логических рассуждений получается результат, называемый тезисом. Истинность тезиса зависит от корректности рассуждений и от истинности исходных гипотез (этот вопрос рассмотрел Аристотель в своих сочинениях под общим названием «Логика»). Чтобы иметь возможность определить истинность гипотез, нужно считать их результатами других рассуждений, гипотезы которых также должны быть истинными. Очевидно, что этот процесс бесконечен: каждая гипотеза обязательно должна являться тезисом, требующим доказательства.

Евклид понял, что не все положения в математике можно доказать, и некоторые из них нужно принять как допущения. В «Началах» он впервые использовал аксиоматический метод, что стало поворотным моментом в истории математики. Евклид рассматривал гипотезы трех типов: определения (в них приводятся значения терминов; всего Евклид формулирует 23 определения), постулаты (у Евклида их пять) и аксиомы (общие утверждения; их тоже пять[4]).

Эта система была выстроена в соответствии с так называемым аксиоматико-дедуктивным методом, который определил путь развития всей современной математики. Бесспорно, если мы тщательно проанализируем утверждения и теоремы, которые предположительно доказаны, то обнаружим некоторые неточности. Например, Евклид использовал принцип, не указанный среди аксиом, согласно которому через две точки можно провести только одну прямую. Но эти ошибки были обнаружены лишь в начале XIX в.