Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия - страница 9

.

На основе этих наблюдений Дезарг ввел два новых понятия: бесконечно удаленную точку, называемую также несобственной точкой, и бесконечно удаленную прямую, также называемую несобственной прямой. На плоскости существует бесконечно много несобственных точек, каждой из которых соответствует свое направление. Все такие точки образуют бесконечно удаленную прямую. Аналогично в пространстве существует бесконечно много несобственных прямых, которые в совокупности образуют бесконечно удаленную плоскость. Согласно модели Дезарга, две параллельные прямые пересекаются в бесконечно удаленной точке — несобственной точке, определяемой углом наклона прямой. Иными словами, каждому углу наклона можно поставить в соответствие бесконечно удаленную точку.

Аналогично пересечением двух параллельных плоскостей будет бесконечно удаленная, то есть несобственная прямая. Следовательно, можно сказать, что две прямые, принадлежащие одной плоскости, всегда имеют общую точку (собственную или несобственную), а две плоскости пространства всегда имеют общую прямую (собственную или несобственную). Парабола будет эллипсом с несобственной точкой, гипербола — эллипсом, но уже с двумя несобственными точками. Отсюда следует принцип двойственности, который выполняется для всех теорем, устанавливающих отношение между точками и прямыми. В соответствии с этим принципом если в теореме проективной геометрии мы заменим слово «точка» на «плоскость», а слова «проходит через» — на «пересекаются в», то полученная теорема также будет верной. Благодаря этому принципу теорема «через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую» имеет парную теорему: «Две несовпадающие прямые пересекаются на единственной плоскости».

Согласно новым принципам, разработанным Дезаргом, конические сечения отличаются друг от друга лишь числом несобственных точек.

Эта теория стала принципиально новой. Было нетрудно представить, что эллипс (замкнутая кривая) в перспективе будет выглядеть как окружность. Например, Дюрер точка за точкой построил все возможные сечения прямого конуса плоскостью. Тем не менее на одном из его рисунков можно увидеть, что фигура, которая в теории должна быть эллипсом, изображена в форме яйца, как будто бы Дюрер не верил своим глазам и ожидал, что по мере приближения к вершине конуса кривая будет более вытянутой по сравнению с обычным эллипсом. Напротив, казалось невозможным, что окружность в перспективе может принимать форму незамкнутой кривой с ветвями, уходящими в бесконечность, то есть форму параболы. Также казалось невозможным, что окружность в перспективе может разрываться подобно гиперболе, которая имеет две отдельные ветви.

Чтобы лучше понять, как окружность в перспективе принимает форму разных конических сечений, представим, что художник хочет изобразить на картине часть бассейна круглой формы. Художник смотрит на бассейн через воображаемое окно (именно проекцию изображения и запечатлеет на картине художник). В зависимости от угла наклона этого окна проекции будут принимать форму различных конических сечений. Мы поступим иначе: зафиксируем плоскость окна перпендикулярно полу и будем изменять положение наблюдателя и окна относительно бассейна.

Когда бассейн будет наиболее удален от окна, его проекция примет форму эллипса. Приблизим наблюдателя и окно к бассейну так, что часть бассейна будет располагаться между наблюдателем и картиной. Проекция бассейна на плоскость окна по-прежнему будет иметь форму эллипса, но часть бассейна уже не будет видна на картине, так как будет располагаться слишком низко. Поместим наблюдателя еще ближе к бассейну, так, чтобы он располагался на краю бассейна. В этом случае луч, соединяющий глаз наблюдателя и точку окружности бассейна, в которой находится наблюдатель, будет параллелен картине и никогда не пересечет ее плоскость либо же пересечет ее в бесконечно удаленной точке. Так как одна из точек окружности будет бесконечно удаленной, проекция окружности примет форму параболы.

Что произойдет, когда наблюдатель войдет в бассейн? В этом случае плоскость, проходящая через точку, в которой расположен наблюдатель, и параллельная окну, пересечет окружность в двух точках