Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия - страница 49
Хотя выражение «бабочка, которая машет крыльями» дошло до наших дней, о местонахождении бабочки и последствиях взмаха ее крыльев ведется обширная дискуссия, которую мы не будем воспроизводить в этой книге.
Если динамическая система будет функционировать достаточно долго, в ее фазовом пространстве появится множество точек, которое называется аттрактором. Аттрактором может быть точка, кривая, поверхность или какое-то сложное множество неправильной структуры, которое называют странным аттрактором.
Фрактальный характер хаоса проявляется в странных аттракторах. Если изобразить орбиты странного аттрактора и последовательно увеличивать их, то можно заметить самоподобие, характерное для фракталов.
Иногда динамические системы зависят от определенного параметра, благодаря чему их проще использовать при моделировании реальных систем. Значение этого параметра особенно важно, чтобы понять, как рождается хаос. При определенных значениях параметра динамическая система демонстрирует нормальное поведение, но иногда даже после малейших изменений появляется хаос. Особенно важную роль играет изучение этих систем и параметра, определяющего их поведение, с целью выявить точки перехода, в которых система начинает проявлять хаотические свойства.
Существование подобных динамических систем, в которых сосуществуют порядок и хаос, заставляет нас признать, что они тесно взаимосвязаны: в любой упорядоченной системе всегда явно или неявно присутствует хаос, а в любой хаотической системе явно или неявно присутствует порядок. Если система демонстрирует все более хаотическое поведение или, напротив, становится стабильной и упорядоченной, она потенциально может снова изменить свое поведение.
Примером того, как хаотическая система неявно является упорядоченной, может служить солитон Джона Рассела. Если мы бросим камень в пруд, на поверхности воды возникнут небольшие волны, которые вскоре исчезнут. Однако в 1834 г. шотландский ученый Джон Скотт Рассел (1808–1882) заметил крайне странное явление: в некоторых ситуациях волны порождали новую волну со своими характеристиками, и эта новая уединенная волна, так называемый солитон, могла проходить сотни километров, не теряя формы. Рассел несколько километров следовал за подобной волной вдоль канала и констатировал, что она шла против течения, не ослабевая. Солитон Рассела — это физическое явление, при котором сочетание дисперсии и нелинейности порождает упорядоченность.
На практике солитон Рассела используется для повышения качества передачи данных в оптоволоконных сетях. Так, в 1988 г. удалось передать солитон на расстояние свыше 4 ООО км.
Переход от ламинарного к турбулентному течению потока — один из наиболее наглядных примеров того, каким путем может рождаться хаос. В эксперименте Тэйлора-Куэтта поток проходит между двумя концентрическими цилиндрами, вращающимися с разной скоростью. С ростом скорости вращения внутреннего цилиндра поток перестает быть равномерным и разбивается на множество водоворотов. Еще более заметные изменения происходят, когда внешний и внутренний цилиндры вращаются в противоположных направлениях. В этом случае в потоке появляются спирали и завихрения. С изменением скорости вращения обоих цилиндров открывается своеобразный ящик Пандоры: в потоке появляются волнистые и турбулентные спирали. Результаты будут отличаться в зависимости от того, скорость какого цилиндра будет увеличена первой.
На фотографии изображен воссозданный солитон Джона Скотта Рассела в канале Юнион близ Эдинбурга. 12 июля 1995 г.
Фракталы и теория хаоса — относительно новые разделы математики, которые невозможно было бы исследовать без мощных современных компьютеров. Нет никаких сомнений, что «случайные» явления теперь описываются и классифицируются точнее, чем раньше. Однако удивительное, революционное открытие случайного поведения некоторых очень простых детерминированных систем приводит к очевидному парадоксу: хаос является детерминированным. Несмотря на то что четко заданные правила не содержат никакого элемента случайности, тем не менее они порождают случайные события.
