Лекции по физике 6a - страница 17
Посмотрим, сможем ли мы представить себе правильное электрическое поле. Это можно сделать, подсчитав «поправку» к тому, что было на низких частотах,— к однородному полю. Обозначим поле при низких частотах через Е>1, и пусть оно по-прежнему равно Е>0е>i>w>t, а правильное поле запишем в виде
где E>2— поправка из-за изменения магнитного поля. При любых w мы будем задавать поле в центре конденсатора в виде E>0e>i>w>t>(тем самым определяя Е>0), так что в центре поправки не будет: E>2=0 при r=0.
Чтобы найти Е>2, можно использовать интегральную форму закона Фарадея
Интегралы берутся просто, если вычислять их вдоль линии Г>2, показанной на фиг. 23.4,б и идущей сперва по оси, затем по радиусу вдоль верхней обкладки до расстояния r, потом вертикально вниз на нижнюю обкладку и обратно к оси по радиусу. Контурный интеграл от Е>1вдоль этой кривой, конечно, равен нулю; значит, в интеграл дает вклад только Е>2, и интеграл равен просто —E>z(r)h, где h— зазор между обкладками. (Мы считаем Е положительным, когда оно направлено вверх.) Это равно скорости изменения потока В, который получится, если вычислить интеграл по заштрихованной площади Sвнутри Г>2 (фиг. 23.4,6). Поток через вертикальную полосу шириной drравен B(r)hdr, а суммарный поток
Полагая — d/dtот потока равным контурному интегралу от E>2, получаем
Фиг. 23.5. Электрическое поле между обкладками конденсатора на высоких частотах. Краевыми аффектами пренебрегли.
Заметьте, что hвыпало: поля не зависят от величины зазора между обкладками.
Используя для В(r) формулу (23.5), получаем
Дифференцирование по времени даст нам просто еще один множитель iw:
(23.7)
Как и ожидалось, наведенное поле стремится свести на нет первоначальное электрическое поле. Исправленное поле Е = Е>1+Е>2тогда равно
(23.8)
Электрическое поле в конденсаторе больше уже не однородно; оно имеет параболическую форму (штриховая линия на фиг. 23.5). Вы видите, что наш простенький конденсатор уже слегка усложняется.
Наши результаты можно использовать для того, чтобы подсчитать импеданс конденсатора на больших частотах. Зная электрическое поле, можно подсчитать заряд обкладок и узнать, как ток через конденсатор зависит от частоты оз. Но эта задача нас сейчас не интересует. Нас больше интересует другое: что станется, если частота будет продолжать повышаться, что произойдет на еще больших частотах? Но разве мы уже не кончили наш расчет? Нет, потому что раз мы исправили электрическое поле, то, значит, магнитное поле, которое мы раньше подсчитали, больше уже не годится. Приближенно магнитное поле (23.5) правильно, но только в первом приближении. Обозначим его В>1, а (23.5) перепишем в виде
(23.9)
Вспомните, что это поле появилось от изменения Е>1 . А правильное магнитное поле будет создаваться изменением суммарного электрического поля Е>1+Е>2 . Если магнитное поле представить в виде В=В>1+В>2>, то второе слагаемое — это просто добавочное поле, создаваемое полем Е>г>. Чтобы узнать В>2 , надо повторить все те же рассуждения, которые приводились, когда подсчитывали В>1: контурный интеграл от B>2 вдоль кривой Г>1 равен скорости изменения потока Е>2 через Г>1. Опять получится то же уравнение (23.4), но В в нем надо заменить на В>2 , а Е — на E>2:
Поскольку Е>2 с радиусом меняется, то для получения его потока надо интегрировать по круговой поверхности внутри Г>1 . Беря в качестве элемента площади 2prdr, напишем этот интеграл в виде
Значит, В>2(r) выразится так:
(23.10)
Подставляя сюда Е>2(r) из (23.7), получаем интеграл от r>3dr, который равен, очевидно, r>4/4. Наша поправка к магнитному полю окажется равной
(23.11)
Но мы еще не кончили! Раз магнитное поле В вовсе не такое, как мы сперва думали, то мы, значит, неверно подсчитывали Е>2. Надо найти еще поправку к Е, вызываемую добавочным магнитным полем В>2. Эту добавочную поправку к электрическому полю назовем Е>3. Она связана с магнитным полем В>2 так же, как E>2 была связана с В>1. Можно опять прибегнуть к тому же самому соотношению (23.6), изменив в нем только индексы:
