Лекции по физике 6 - страница 53

t-х/с). Однако в сущ­ности это одно и то же, потому что любая функция от (t-х/с)— это

также функция от (x-ct):

Покажем, что f(x-ct) действительно есть решение волнового уравнения. Поскольку f зависит лишь от одной переменной — переменной (x-ct), то мы будем через f' обозначать производ­ную fпо этой переменной, а через f"— вторую производную.

Фиг. 20.4. Функцияf(x-ct) представляет неизменный «контур», движущийся в направлении возрастания х со скоростью с.

Дифференцируя (20.21) по х, получаем

потому что производная от (x-ct) no xравна единице. Вторая производная ш no xравна

(20.22)

А производные ш no tдают

(20.23)

Мы убеждаемся, что ш действительно удовлетворяет одномер­ному волновому уравнению.

Вы недоумеваете: «Откуда же вы взяли, что решением вол­нового уравнения является f(x-ct)? Мне эта проверка задним числом совсем не нравится. Нет ли прямого пути отыскать ре­шение?» Хорошо, вот вам прямой путь: знать решение. Можно, конечно, «испечь» по всей науке прямые математические аргументы, тем более, что мы знаем, каким должно быть реше­ние, но с таким простым, как у нас, уравнением игра не стоит свеч. Со временем вы сами дойдете до того, что, как только; увидите уравнение (20.20), тут же будете представлять себе f(x-ct)=шв качестве решения. (Подобно тому, как сейчас при виде интеграла от x^>2dxу вас сразу всплывает ответ x^>3/3.)

На самом деле вы должны представлять себе немножко больше. Решением является не только любая функция от (x-ct), но и функция от (х+сt). Из-за того, что в волновом урав­нении с встречается только в виде с^>2, изменение знака с ничего не меняет. И действительно, самое общее решение одномерного волнового уравнения — это сумма двух произвольных функций, одной от аргумента (x-ct), а другой от (x+ct):

(20.24)

Первое слагаемое дает волну, движущуюся по направлению к положительным х, второе — произвольную волну, бегущую к отрицательным х. Общее решение получается наложением двух таких волн, существующих одновременно.

● ● ●

Следующий забавный вопрос решите сами. Возьмем функ­цию ш в виде

ш=coskxcoskct.

Эта функция не имеет вида f(x-ct) или g(x+ct). Но прямой подстановкой в (20.20) легко убедиться, что она удовлетворяет волновому уравнению. Но как же мы тогда смеем говорить, что общее решение имеет вид (20.24)?

● ● ●

Применяя эти выводы о решении волнового уравнения к y-компоненте электрического поля Е_>у, мы заключаем, что Е может меняться по х произвольным образом. Всякое поле, которое существует в самом деле, можно всегда рассматривать как сумму двух картин. Одна волна плывет через пространство в каком-то направлении со скоростью с, причем связанное с нею магнитное поле перпендикулярно к электрическому; другая волна бежит в противоположном направлении с той же скоростью. Такие волны отвечают хорошо нам известным элек­тромагнитным волнам — свету, радиоволнам, инфракрасному излучению, ультрафиолету, рентгеновским лучам и т. д. Мы уже изучали очень подробно излучение света. Так как все, чему мы тогда научились, применимо к любым электромагнит­ным волнам, то теперь нет нужды рассматривать подробно поведение этих волн.

Пожалуй, стоит лишь сделать несколько замечаний о поля­ризации электромагнитных волн. Раньше мы решили рассмот­реть частный случай электрического поля с одной только y-компонентой. Имеется, конечно, и другое решение для волн, бегущих в направлении +х или -х, т. е. решение, при котором электрическое поле обладает одной лишь z-компонентой. Так как уравнения Максвелла линейны, общее решение для одно­мерных волн, распространяющихся в направлении х, есть сумма волн Е_>yи волн Е_>z. Общее

решение суммируется следующими формулами:

(20.25)

У подобных электромагнитных волн направление вектора Е не неизменно: оно как-то произвольно смещается по спирали в плоскости yz. Но в каждой точке магнитное поле всегда пер­пендикулярно к электрическому и к направлению распростра­нения.

Если присутствуют только волны, бегущие в одном направ­лении (скажем, в положительном направлении х), то имеется простое правило, говорящее об относительной ориентации элек­трического и магнитного полей. Правило состоит в том, что век­торное произведение ЕXВ (которое, как известно, является вектором, поперечным и к Е, и к В) указывает направление, куда бежит волна. Если Е совмещать с В правым по­воротом, то вектор поворота показывает направление вектора скорости волны. (Позже мы увидим, что вектор ЕXВ имеет особый физический смысл: это вектор, описывающий течение энергии в электромагнитном поле.)