Лекции по физике 6 - страница 52
Какими простыми стали теперь наши уравнения! Теперь единственная ненулевая компонента электрического поля — это Е>у, и все производные (кроме производных по х) тоже равны нулю. Остатки уравнений Максвелла выглядят чрезвычайно просто.
Рассмотрим теперь второе из уравнений Максвелла [т. е. II из (20.12)]. Расписав компоненты rot E, получаем
здесь x-компонента СXE равна нулю, потому что равны нулю производные по у и z; y-компонента тоже равна нулю: первый член потому, что все производные по z равны нулю, а второй потому, что E>z=0. Единственная не равная нулю компонента rot E — это z-компонента, она равна дЕ>у/дх. Полагая, что три компоненты СXE равны соответствующим компонентам —dB/dt, мы заключаем, что
(20.15)
(20.16)
Поскольку временные производные как x-компоненты магнитного поля, так и
y-компоненты магнитного поля равны нулю, то обе эти компоненты суть попросту постоянные поля и отвечают найденным раньше магнитостатическим решениям. Ведь кто-то мог оставить постоянный магнит возле того места, где распространяются волны. Мы будем игнорировать эти постоянные поля и положим В>хи В>yравными нулю.
Кстати, о равенстве нулю x-компонент поля В мы должны были бы заключить и по другой причине. Поскольку дивергенция В равна нулю (по третьему уравнению Максвелла), то мы, прибегая при рассмотрении электрического поля к тем же доводам, что и выше, должны были бы прийти к выводу, что продольная компонента магнитного поля не может изменяться вдоль х. А раз мы такими однородными полями в наших волновых решениях пренебрегаем, то нам следовало бы положить В>хравным нулю. В плоских электромагнитных волнах поле В, равно как и поле Е, должно быть направлено поперек направления распространения самих волн.
Равенство (20.16) дает нам добавочное утверждение о том, что если электрическое поле имеет только y-компоненту, то магнитное поле имеет только z-компоненту. Значит, Е и В перпендикулярны друг другу. Именно это и наблюдалось в той волне особого типа, которую мы уже рассмотрели.
Теперь мы готовы использовать последнее из уравнений Максвелла для пустого пространства [т. е. IV из (20.12)1. Расписывая покомпонентно, имеем
(20.17)
Из шести производных от компонент В только dB>z/dxне равна нулю. Так что три уравнения просто дают
(20.18)
Итог всей нашей деятельности состоит в том, что отличны от нуля только по одной компоненте электрического и магнитного полей и эти компоненты обязаны удовлетворять уравнениям (20.16) и (20.18). Эти два уравнения можно объединить в одно, если первое из них продифференцировать по х, а второе— по t; тогда левые стороны уравнений совпадут (с точностью до множителя с>2). И мы обнаруживаем, что Е подчиняется уравнению
(20.19)
Мы уже встречали это дифференциальное уравнение, когда изучали распространение звука. Это волновое уравнение для одномерных волн.
Заметьте, что в процессе вывода мы получили больше, чем содержится в (20.11). Уравнения Максвелла дали нам информацию и о том, что у электромагнитных волн есть только компоненты поля, расположенные под прямым углом к направлению распространения волн.
Вспомним все, что нам известно о решениях одномерного волнового уравнения. Если какая-то величина ш удовлетворяет одномерному волновому уравнению
(20.20)
то одним из возможных решений является функция ш (x, t),
имеющая вид
(20.21)
т. е. функция одной-единственной переменной (x-ct). Функция i(x-ct) представляет собой «жесткое» образование вдоль оси х, которое движется по направлению к положительным х со скоростью с (фиг. 20.4). Так, если максимум функции f приходится на нулевое значение аргумента, то при t=0 максимум ш оказывается при x=0. В более поздний момент, скажем при t=10, максимум ш окажется в точке х=10 с. Когда время движется, максимум тоже движется в сторону возрастания х со скоростью с. Порой удобнее считать, что решение одномерного волнового уравнения является функцией от
