Лекции по физике 6 - страница 41
Дальше нам нужен потенциал Vв точках x+h. Я считаю т) малой и могу разложить V(x) в ряд Тэйлора. Приближенно это будет V(x); в следующем приближении (из-за того, что здесь стоят обычные производные) поправка равна h, умноженной на скорость изменения Vпо отношению к x; и т. д.:
Для экономии места я обозначил через Vпроизводную F по х. Слагаемое с h>2 и все, стоящие за ним, попадают в категорию «второй и высшие порядки». И о них больше нечего беспокоиться. Объединим все, что осталось:
Если мы теперь внимательно взглянем на это, то увидим, что два первых написанных здесь члена отвечают тому действию S, которое я написал бы для искомого истинного пути х. Я хочу сосредоточить ваше внимание на изменении S, т. е. на разности между Sи тем S, которое получилось бы для истинного пути. Эту разность мы будем записывать как dSи назовем ее вариацией S. Отбрасывая «второй и высшие порядки», получаем для dS
Теперь задача выглядит так. Вот передо мной некоторый интеграл. Я не знаю еще, каково это х, но я твердо знаю, что, какую h я ни возьму, этот интеграл должен быть равен нулю. «Ну что ж,— подумаете вы,— единственная возможность для этого — это чтобы множитель при h был равен нулю». Но как быть с первым слагаемым, где есть dh/dt? Вы скажете: «Если h обращается в ничто, то и ее производная такое же ничто; значит, коэффициент при dh/dtдолжен тоже быть нулем». Ну это не совсем верно. Это не совсем верно потому, что между отклонением h и его производной имеется связь; они не полностью независимы, потому что h (t) должно быть нулем и при t>tи при t>2.
При решении всех задач вариационного исчисления всегда пользуются одним и тем же общим принципом. Вы чуть сдвигаете то, что хотите варьировать (подобно тому, как это сделали мы, добавляя h), бросаете взгляд на члены первого порядка, затем расставляете все так, чтобы получился интеграл в таком виде: «сдвиг (h), умноженный на что получится», но чтобы в нем не было никаких производных от h(никаких dh/dt). Непременно нужно так все преобразовать, чтобы осталось «нечто», умноженное на h. Сейчас вы поймете, отчего это так важно. (Существуют формулы, которые подскажут вам, как в некоторых случаях можно это проделать без каких-либо выкладок; но они не так уж общи, чтобы стоило заучивать их; лучше всего проделывать выкладки так, как это делаем мы.)
Как же я могу переделать член dh/dt, чтобы в нем появилось h? Я могу добиться этого, интегрируя по частям. Оказывается, что в вариационном исчислении весь фокус в том и состоит, чтобы расписать вариацию Sи затем проинтегрировать по частям так, чтобы производные от h исчезли. Во всех задачах, в которых появляются производные, проделывается такой же фокус.
Припомните общий принцип интегрирования по частям. Если у вас есть произвольная функция f, умноженная на dh/dtи проинтегрированная по t, то вы расписываете производную от hf:
В интересующем вас интеграле стоит как раз последнее слагаемое, так что
В нашей формуле для dS за функцию f принимается произведение т на dx/dt; поэтому я получаю для dSвыражение
В первый член должны быть подставлены пределы интегрирования t>1и t>2. Тогда я получу под интегралом член от интегрирования по частям и последний член, оставшийся при преобразовании неизменным.
А теперь происходит то, что бывает всегда,— проинтегрированная часть исчезает. (А если не исчезает, то нужно переформулировать принцип, добавив условия, обеспечивающие такое исчезновение!) Мы уже говорили, что hна концах пути должна быть равна нулю. Ведь в чем состоит наш принцип? В том, что действие минимально при условии, что варьируемая кривая начинается и кончается в избранных точках. Это значит, что h(t>1)=0 и h(t>2)=0. Поэтому проинтегрированный член получается равным нулю. Мы собираем воедино остальные члены и пишем
Вариация Sтеперь приобрела такой вид, какой мы хотели ей придать: что-то стоит в скобках (обозначим его F), и все это умножено на h(t)и проинтегрировано от t>1до t>2.
У нас вышло, что интеграл от какого-то выражения, умноженного на h(t), всегда равен нулю:
Стоит какая-то функция от
