Лекции по физике 6 - страница 43

частиц. Тогда для двух частиц, движу­щихся в трех измерениях, возникает шесть уравнений. Вы мо­жете варьировать положение частицы 1 в направлении x, в направлении у и в направлении z, и то же самое проделать с частицей 2, так что существует шесть уравнений. И так и должно быть. Три уравнения определяют ускорение частицы 1 через силу, действующую на нее, а три других — ускорение частицы 2 из-за силы, действующей на нее. Следуйте всегда тем же правилам игры, и вы получите закон Ньютона для про­извольного числа частиц.

Я сказал, что мы получим закон Ньютона. Это не совсем верно, потому что в закон Ньютона входят и неконсервативные силы, например трение. Ньютон утверждал, что та равно вся­кой F. Принцип же наименьшего действия справедлив только для консервативных систем, таких, где все силы могут быть получены из потенциальной функции. Но ведь вы знаете, что на микроскопическом уровне, т. е. на самом глубинном физи­ческом уровне, неконсервативных сил не существует. Некон­сервативные силы (такие, как трение) появляются только от того, что мы пренебрегаем микроскопическими сложными эф­фектами: просто слишком много частиц приходится анализировать. Фундаментальные же законы могут быть выражены в виде принципа наименьшего действия.

Позвольте перейти к дальнейшим обобщениям. Положим, нас интересует, что будет, когда частица движется релятивист­ски. Пока мы не получили правильного релятивистского уравнения движения; F=ma верно только в нерелятивистских дви­жениях. Встает вопрос: существует ли в релятивистском случае соответствующий принцип наименьшего действия? Да, су­ществует. Формула в релятивистском случае такова:

Первая часть интеграла действия — это произведение массы покоя m_>0 на с^>2 и на интеграл от функции скорости Ц(1-v^>2/c^>2). Затем вместо того, чтобы вычитать потенциальную энергию, мы имеем интегралы от скалярного потенциала j и от вектор­ного потенциала А, умноженного на v, Конечно, здесь приняты во внимание только электромагнитные силы. Все электрические и магнитные поля выражены в терминах j и А. Такая функция действия дает полную теорию релятивистского движения от­дельной частицы в электромагнитном поле.

Конечно, вы должны понимать, что всюду, где я написал v, прежде чем делать выкладки, следует подставить dx/dtвместо v_>xи т. д. Кроме того, там, где я писал просто х, у, z, вы должны представить себе точки в момент t: x(t), y(t), z(t). Собственно, только после таких подстановок и замен vу вас получится фор­мула для действия релятивистской частицы. Пусть самые уме­лые из вас попытаются доказать, что эта формула для дей­ствия действительно дает правильные уравнения движения теории относительности. Позвольте лишь посоветовать для начала отбросить А, т. е. обойтись пока без магнитных полей. Тогда вы должны будете получить компоненты уравнения движения dp/dt=-qСj, где, как вы, вероятно, помните, p=mv/Ц(l-v^>2/с^>2).

Включить в рассмотрение векторный потенциал А намного труднее. Вариации тогда становятся несравненно более слож­ными. Но в конце сила оказывается равной тому, чему следует: q(E+vXB). Но позабавьтесь с этим сами.

Мне хотелось бы подчеркнуть, что в общем случае (к при­меру, в релятивистской формуле) под интегралом в действии уже не стоит разность кинетической и потенциальной энергий. Это годилось только в нерелятивистском приближении. На­пример, член m_>0c^>2Ц(1-v^>2/с^>2) — это не то, что называют кине­тической энергией. Вопрос о том, каким должно быть действие для произвольного частного случая, может быть решен после некоторого числа проб и ошибок. Это задача того же типа, что и определение, каковы должны быть уравнения движения. Вы просто должны поиграть с известными вам уравнениями и посмотреть, можно ли их написать в виде принципа наимень­шего действия.

Еще одно замечание по поводу терминологии. Ту функцию, которую интегрируют по времени, чтобы получить действие S, называют лагранжианом ж. Это функция, зависящая только от скоростей и положений частиц. Так что принцип наименьшего действия записывается также в виде

где под x_>iи v_>iподразумеваются все компоненты координат и скоростей. Если вы когда-нибудь услышите, что кто-то говорит о «лагранжиане», знайте, что речь идет о функции, применяемой для получения