Кто из них выше
всех?".
Несмотря на простоту
такого рода примеров ("Петя, Толя,
Боря", с одной стороны, и "камень,
ножницы, бумага" - с другой),
транзитивность и нетранзитивность
превосходства вызывают дискуссии самых
разных специалистов, ведущиеся на самых
разных уровнях.
Причем часть из
этих специалистов убеждена в том, что на
самом деле, если глубоко разобраться и
тонко учесть все факторы ("taking all
considered"), нетранзитивность
превосходства окажется иллюзией,
следствием ошибочных рассуждений и
неправильно интерпретированных
наблюдений. Другие, напротив, считают,
что как раз транзитивность превосходства
- это всего лишь результат выдергивания
и искусственной изоляции короткой
цепочки превосходств из более общего
цикла взаимодействий, в котором они
реально существуют. Причем и те и другие
рассуждают достаточно строго, и их не
упрекнешь в очевидных логических ошибках
- например, в попытках поставить и
решить задачу типа "Петя выше Толи, Толя
толще Бори. Кто из них
директор?".
Не стану скрывать
своих пристрастий - ситуации
нетранзитивности превосходства мне
представляются более увлекательными. О
них и расскажу, выбрав самые, на мой
взгляд, интересные.
Нетранзитивные кости, или
бойцовский клуб игральных
кубиков
Брэдли
Эфрон (Bradley Efron), специалист по
статистике из Стэнфордского
университета, предложил комплекты
игральных костей, обладающих
парадоксальными свойствами [Секей Г.
Парадоксы в теории вероятностей и
математической статистике. М.:Мир,
1990.].
(Психолог В. А. Петровский
удачно назвал эти комплекты "бойцовским
клубом игральных кубиков".) Все кубики
любого такого набора одинаковы и
"честны" в отношении своей
геометрической формы, веса и т.
д.
Единственная разница между ними
- в числах, нанесенных на их грани.
Числа подобраны так, что на верхней
грани первого кубика при бросках чаще
выпадает большее число, чем на втором;
на втором чаще выпадает большее число,
чем на третьем, и т. д., но последний
кубик чаще показывает большее число, чем
первый (!). Благодаря этому первый
систематически выигрывает у второго,
второй - у третьего и т. д., но
последний кубик - казалось бы,
аутсайдер! - систематически выигрывает у
первого - казалось бы, безусловного
фаворита.
Кто не верит в этот факт
нетранзитивности превосходства "чаще
показывать большее число" (сразу
поверить трудно), может
поэкспериментировать в Интернете на
странице edp.org/dice.htm
с симуляцией соревнований или
самостоятельно решить приведенную ниже
задачку [Roberts T. S. A ham san d -
wich is better than no thing: Some
thoughts about transitivity //
Australian Senior Ma thematics Journal.
2004.18 (2). P. 60–64].
Есть
четыре игральных кубика со следующими
числами на гранях.
Кубик A: 7,
7, 7, 7, 1, 1
Кубик B: 6, 6, 5, 5,
4, 4
Кубик C: 9, 9, 3, 3, 3,
3
Кубик D: 8, 8, 8, 2, 2, 2
Каково соотношение побед и
поражений в парах A-B, B-C, C-D и
D-A?
(Ответ: каждый предшествующий
кубик в среднем выигрывает у
последующего вдвое больше партий, чем
проигрывает. Но последний кубик D
выигрывает вдвое больше партий у кубика
А, чем проигрывает ему.)
Поэтому
при возможности выбора из пары кубиков А
и В надо выбрать А, оставив сопернику
более "проигрышный" кубик В; при выборе
между В и С надо выбирать В; при выборе
между С и D надо выбирать C; но при
выборе между D и А надо выбирать
D.
Известный популяризатор
математики Мартин Гарднер, который в
течение многих лет вел математическую
рубрику в журнале Scientific American,
писал, что нетранзитивные кости
"позволяют глубже осознать
значение…
открытий, связанных с
общим классом вероятностных парадоксов,
в которых нарушается правило
транзитивности. С помощью любого из этих
наборов игральных костей вы можете
держать пари в условиях, настолько
противоречащих интуиции, что опытные
игроки почти не в состоянии разобраться
в них, даже если они полностью
проанализируют ход игры"[Гарднер М.
Крестикино лики. М.: Мир, 1988.
С.63–66.].
Разработан и алгоритм
генерации чисел для такого рода объектов
(причем не только кубиков, но и
многогранников, рулеток и т. п.),
образующих цепочку любой длины[Deshpande
M. N. Intran sitive dice // Teaching
statistics. 2000. 22 (1). 4–5.].
