Истину можно вычислить. - страница 17

Оказывается, такая мера близости, то есть «расстояние между династиями», действительно существует. К описанию такого коэффициента с(а, b) мы сейчас и перейдем.

Итак, мы построили в пространстве R^>15 некоторое множество династий D. Были смоделированы две наиболее типичные ошибки, делавшиеся летописцами. Каждая династия из множества D была подвергнута возмущениям типов (1) и (2). При этом каждая точка из D размножилась в несколько точек, что привело к увеличению множества. Получившееся множество мы обозначали через vir(D). Оказалось, что множество vir(D) состоит примерно из 15 × 10^>11 точек.

Будем считать «династический вектор а» случайным вектором в R^>k, пробегающим множество vir(D). Тогда по множеству vir(D) мы можем построить функцию z плотности вероятностей. Для этого все пространство R^>15 было разбито на стандартные кубы достаточно малого размера так, чтобы ни одна точка из множества vir(D) не попала на границу какого-либо куба. Если x — внутренняя точка куба, то, положим:

Ясно, что для точки x, лежащей на границе какого-либо куба, можно считать, что z(x) = 0. Функция z(x) достигает максимума в области, где сосредоточено особенно много династий из множества vir(D), и падает до нуля там, где точек из множества vir(D) нет, рис. 19. Тем самым график функции z(x) наглядно показывает, как именно распределено множество виртуальных династий vir(D) по пространству R^>k. Другими словами, где это множество «густое», «плотное», а где оно разрежено.

Пусть теперь нам заданы две династии:

а = (a_>1, …, a_>k) и b = (b_>1, …, b_>k),

и мы хотим оценить, насколько они близки или далеки. Построим k-мерный параллелепипед P'(A, В) с центром в точке а, имеющий в качестве диагонали вектор а — b, рис. 20. Если спроектировать параллелепипед P'(a, b) на i-ю координатную ось, то получится отрезок с концами

[a_>i — |a_>i — b_>i|, a_>i + |a_>i — b_>i|].

В качестве предварительного коэффициента с'(а, b) мы возьмем число:

Ясно, что число с'(а, b) является интегралом функции плотности z(x) по параллелепипеду P'(а, b).

Смысл предварительного коэффициента с'(а, b) ясен. Династии, то есть векторы из vir(D), попавшие в параллелепипед P'(а, b), естественно назвать «похожими» на династии a и b. В самом деле, каждая из таких династий удалена от династии а не более, чем от династии а удалена династия b. Следовательно, в качестве меры близости двух династий а и b, мы берем долю династий, «похожих» на а и b в множестве всех династий vir(D).

Однако такой коэффициент с'(а, b) пока недостаточно хорош, поскольку он никак не учитывает то обстоятельство, что летописцы определяли длительность правлений царей с какой-то ошибкой, причем обычно тем большей, чем дольше длительность правления. Другими словами, нам нужно учесть ошибку летописцев (3), обсужденную выше.

Перейдем к моделированию ошибки (3). Пусть T — это длительность правления. Ясно, что длительность правления можно рассматривать как случайную величину, определенную на «множестве всех царей». Обозначим через g(T) число царей, правивших T лет. В работе [884] автор настоящей книги экспериментально вычислил эту гистограмму частот g(T) (плотность распределения указанной случайной величины) на основе данных, приведенных в хронологических таблицах Ж. Блера [76]. Положим h(T) = 1/g(T) и назовем h(T) функцией ошибок летописцев. Ошибка h(T) в определении длительности T тем больше, чем с меньшей вероятностью случайная величина — то есть длительность правления — принимает значение T. Другими словами, небольшие, «короткие» длительности правлений царей лучше поддаются вычислению летописцев. Здесь хронист ошибается незначительно. Напротив, большие длительности правлений царей, встречающиеся довольно редко, летописец обычно вычисляет с существенной ошибкой. Чем больше длительность правления, тем большую ошибку он может совершить.

Функция ошибок h(T) для указанной плотности вероятностей случайной величины (длительности правления) была определена экспериментально [884], с. 115. Разобьем отрезок [0,100] целочисленной оси T на десять отрезков одинаковой длины, а именно: