Так что есть точка – бесконечно малая величина или ничто? Если она равна нулю, т.е. ее мера Лебега равна нулю, то и континуум С, как объединение всех точек, имеет нулевую меру, т.е. он в физическом смысле сингулярен. Т.о. точка должна иметь протяженность. Но если она является очень маленьким отрезком, которыми можно замостить С, то их число должно быть счетным. Иначе говоря, континуум состоит из дифференциалов счетной бесконечности и еще чего-то между ними, что и создает непроницаемый фон: невозможно найти в С дыру, которая не была бы числом. Вообще говоря, было бы очень странно, если бы, ковыряясь в числах, мы нашли среди них сапоги, и поэтому непроницаемый однородный континуум выглядит даже очень правильно с точки зрения нашей логики, которая не терпит оксиморонов.
Действительные (и комплексные) функции положены в основу математической физики. Но когда физик дифференцирует какую-нибудь функцию f, он лишь определяет через производную как изменяется во времени эта функция, используя точно разработанный языковой аппарат, никак не предполагая при этом, что время является квантовым и дифференциал dt есть тот самый Планковский квант времени, поскольку математический анализ изначально создавался явно или по умолчанию для континуального Риманова пространства. Действительная прямая принимается в математике всюду плотной и состоящей из бесконечно малых величин, которые не равны нулю. Ведь складывать нули бесполезно. Как объединение точек несчетный континуум C можно представить счетным множеством – суммой точек конечной меры (дифференциалов), между которыми есть еще некая неопознанная величина x:
Разумно предположить, что x и есть ничто, нуль. Так что же такое нуль? Он ведь тоже экзистенциален. По крайней мере, мы успешно им пользуемся. И он не дифференциал. Континуум-гипотеза Кантора основана на несчетности континуума C, в то время как его полная упорядоченность, из которой и делается вывод о несчетности с помощью диагонального метода, есть только предположение о том, что любые два числа можно сравнить:
(3.1)
С другой стороны, факт, что C всюдуплотен, может быть выражен аксиомой:
(3.2)
Она гласит, что между любыми двумя сколь угодно близки числами существует по крайней мере еще одно число. Заметим, кстати, что это условие очень похоже на аксиому отделимости (сепарабельности) в топологии, которая в формулировке Хаусдорфа требует, чтобы у любых точек a и b имелись непересекающиеся (замкнутые) окрестности в рассматриваемом пространстве:
(3.3)
Эта аксиома равносильна утверждению, что пересечение всех окрестностей точки в отделимом пространстве состоит из самой этой точки:
(3.4)
Более обще: отделимое по Хаусдорфу пространство фильтруется, и каждый фильтр в нем стягивается в одну-единственную точку. Обратим внимание на то, что понятие фильтра является обобщением таких понятий как сходимость числового ряда и предел функции, на которые опирается весь математический анализ и соответственно вся физика метрических пространств. Насколько это важно, становится ясно из следующего рассуждения.
Во-первых, отделимое пространство не является строго дизъюнктивным. Континуум С невозможно разделить на две части так, чтобы между ними ничего не было. Точка фильтрации будет точкой прикосновения обеих частей. Как было сказано выше, если С ассоциировать с прямой , то ее невозможно рассечь так, чтобы сечение принадлежало одной части и не принадлежало другой (мы отказываемся от математической хитрости, заключавшейся в том, чтобы делить множество на открытые и замкнутые части, полагая, что обе части должны быть в равных положениях). Пусть нуль есть точка фильтрации. Тогда
