В задачах часто бывает нужно вычислить отношения пропорциональных величин. Предположим, в задаче говорится о двух звездах с одинаковой температурой поверхности, но радиус звезды А в два раза больше радиуса звезды В и мы просим вас вычислить отношение их светимостей. Из книги
13
Немного математики
«Большое космическое путешествие» вы узнаете, что при фиксированной температуре светимость звезды L пропорциональна квадрату ее радиуса R: 2
L ∝ R ,
где символ ן означает «пропорциональна». То есть это означает, что существует некая постоянная С, такая, что
L = СR 2.
На основании этого найдем отношение двух светимостей: 2
2
2
L
CR
R
⎛ R ⎞
A
A
A
A
=
=
=
.
2
2
L
CR
R
⎜ R ⎟
B
B
B
⎝ B ⎠
Обратите внимание, что постоянная С здесь сокращается, нам не нужно ее знать. Но если обозначить эту постоянную как С, это даст нам возможность не забыть, что значит пропорциональность. Также обратите внимание на уже знакомый прием: мы превращаем отношение квадратов в квадрат отношения.
Нам уже сказали, что R / R = 2, так что вычисления очень просты: отношение
A B
светимостей равно квадрату указанной величины, то есть 4.
Часть I
ЗВЕЗДЫ, ПЛАНЕТЫ, ЖИЗНЬ
1
РАЗМЕР И МАСШТАБЫ ВСЕЛЕННОЙ
1. Экспоненциальное представление чисел. Обзор
Запишите следующие числа в экспоненциальном представлении, соблюдая нужное количество значащих цифр.
1. a Тридцать один миллион семьсот тысяч
1. b (число пи), умноженное на 0,2
1. c Одна четверть
1. d Один нанометр (в метрах)
2. Сколько длится год?
Вычислите число секунд в году с точностью до двух значащих цифр.
3. Насколько быстро распространяется свет?
Скорость света составляет 3,0 108 метров в секунду. Какова скорость света в километрах в год?
4. Угловые секунды в радиане
Вычислите, сколько угловых секунд в радиане, с точностью до одной значащей цифры. С этим числом мы будем сталкиваться в нашем задачнике
17
ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь постоянно. Подсказка: вспомните, сколько градусов и сколько радианов в полном круге.
5. Парсек — это далеко?
Парсек — это расстояние, на котором находилась бы звезда, если бы она обладала параллаксом в 1 угловую секунду за счет движения Земли вокруг Солнца. Вычислите, сколько составляет 1 парсек в астрономических единицах (а. е.) и в световых годах. Подсказка: вспомните, что по традиции параллакс определяется как половина угла, на который меняется положениезвезды, когда Земля перемещается с одной стороны своей орбиты вокруг
Солнца на другую.
6. Дальше в космос — глубже в прошлое
Скорость света составляет 3,0 105 км/с. Расстояние между Землей и
Солнцем (1 астрономическая единица, а. е.) — 150 миллионов километров.
Все ответы должны содержать правильное количество значащих цифр.
6. a Вы смотрите на свою подругу, которая стоит в 30 футах (10 метрах) от вас. Насколько далеко в прошлом вы ее видите? Ответ выразите в наносекундах. Свет, который доходит от вашей подруги и попадает в ваши глаза, — это обычный дневной свет, который от нее отражается.
6. b Инженеры-электронщики постоянно пытаются повысить скорость компьютерных микросхем. Чтобы компьютер проделывал больше операций в секунду, можно, в частности, просто сократить расстояние между компонентами, чтобы электрические цепи стали короче. Электроны, «текущие» от одного транзистора к другому в вашем компьютере, перемещаются со скоростью, близкой к скорости света. В современных микросхемах эти расстояния поразительно малы: в 2017 году они достигли 10 нанометров (сотая часть микрона). Сколько времени (в секундах) нужно электрону, чтобы «перетечь»
из транзистора в транзистор? Ответ дайте в экспоненциальном представлении.
18
1. Размер и масштабы Вселенной
6. с Насколько глубоко в прошлое мы заглядываем, когда наблюдаем
Туманность Ориона, до которой 1500 световых лет? Ответ выразите в годах.
7. Взгляд на Нептун
Электромагнитное излучение (в том числе радиоволны) распространяется со скоростью света. В 1989 году космический аппарат «Вояджер II»
пролетел мимо планеты Нептун. Нептун движется по приблизительно круглой орбите вокруг Солнца радиусом 30 а. е., а Земля — по круглой орбите радиусом 1 а. е. (конечно же!). Для решения этой задачи с заданной точностью вполне годится приближение, согласно которому орбиты планет — окружности, лежащие в одной плоскости.
