(приблизительно) в каждом слагаемом. Сумма 8 и 6 равна 14; следует ли нам округлять результат до одной значащей цифры, то есть до 10? В этом случае — нет, поскольку мы знаем, что погрешность суммы приблизительно равна сумме погрешностей двух слагаемых (то есть составляет около двух)*.
Округлить 14 до 10 — значит изменить число на величину гораздо больше, чем погрешность суммы, а следовательно, в этом случае лучше придерживаться двух значащих цифр.
Мы не всегда будем записывать числа в экспоненциальном представлении, но количество значащих цифр обычно будет ясно из контекста. Например, если мы скажем, что температура звезды составляет 10 000 градусов, вы можете предположить, что это число известно с точностью до одной или, вероятно, двух значащих цифр, если прямо не указано иначе.
* Существует математически корректный способ вычисления погрешности суммы, который дает несколько меньшую величину, но это выходит за рамки нашей книги.
11
Немного математики
Практические правила таковы.
• При вычислениях с участием чисел с одной или двумя значащими цифрами можно проводить арифметические расчеты без калькулятора, как показано выше, и давать ответ из одной (иногда двух) значащих цифр.
Именно такими будут большинство расчетов в этой книге.
• Если нужно отследить больше значащих цифр, проще всего выполнить «точные» вычисления на калькуляторе, а округлить до подходящего количества значащих цифр только в самом конце.
В астрономических исследованиях нам часто нужны грубые оценки «по порядку величины», и многие задачи составлены в этом духе. Например, в одной задаче мы спросим вас, поместится ли 1 тонна вещества белого карлика в спичечный коробок, и для подобной задачи четкий ответ на вопрос даст вам одна значащая цифра!
Вышеприведенные правила о значащих цифрах несколько усложняются при вычитании. Нам иногда будут встречаться задачи, где нужно найти разность двух больших чисел:
4000,001 — 4000,000 = 0,001.
В этом примере, если мы округлим числа до того, как производить вычитание, то останемся с ответом «нуль» и в результате упустим суть задачи. В другом примере из раздела «Большого космического путешествия», посвященного теории относительности, нам придется иметь дело с телами, движущимися очень близко к скорости света с, и мы запишем их скорость в виде, скажем, v = 0,999999999999 с. Естественно, у вас возникнет соблазн округлить это число до с, однако, как мы увидим, физически значимая величина (причем именно та величина, которую мы на самом деле измеряем, то есть интересующее нас число) представляет собой разницу между с и реальной скоростью v (то есть 10–12 с в нашем примере), которую мы на самом деле знаем с точностью до одной значащей цифры. В формулировках задач, где возникают подобные вопросы, мы дадим соответствующие подсказки.
12
Немного математики
АЛГЕБРА И АРИФМЕТИКА
Хотя в школе изучают сначала арифметику, а уже потом алгебру, зачастую арифметика труднее алгебры. Когда вы будете решать эти задачи, полезно придерживаться общего правила: сначала как можно сильнее упрощать выражения при помощи алгебраических приемов и лишь потом производить арифметические вычисления. Приведем пример, который встретится в одной из задач. Нужно найти отношение корней четвертой степени из светимостей двух звезд, которые составляют соответственно 3,2 1027 и 2 1026 Дж/с: (3,2×10 Дж/с)1/4
27
(
.
2×10 Дж/с)1/4
26
В этот момент у вас возникнет соблазн достать калькулятор и узнать, что
(3,2 1027 Дж/с)1/4 = 7,52 106 (Дж/с)1/4;
(2 1026 Дж/с)1/4 = 3,76 106 (Дж/с)1/4.
После чего вычислить отношение, все это время не находя себе места от страха, что вы делаете что-то не то со значащими цифрами, и не понимая, что означает странное выражение (Дж/с)1/4. Однако жизнь заметно упростится, если понимать, что отношение степеней — это степень отношения, то есть можно записать выражение в виде
1/4
27
⎛ 3,2×10 Дж/с ⎞
1/4
= 16 = 2.
⎜
26
⎝ 2 10 Дж/с ⎟
×
⎠
Мам, смотри, как я могу без калькулятора! И размерности тоже сократились! Среди наших задач будет очень много таких, которые легко решаются с помощью подобных фокусов.
