Украинские чекисты проводили в то время большую работу по ликвидации очагов контрреволюции. Вспоминая тяжелую обстановку, в которой сотрудникам особого отдела Южного и Юго-Западного фронтов приходилось решать стоявшие перед ними задачи, Ефим Георгиевич Евдокимов писал: „Нельзя не отметить то характерное обстоятельство, что вся эта работа проходила при условиях абсолютно неблагоприятных — работников не только не хватало, но в них всегда ощущался кризис, сотрудники же, участвовавшие в работе, падали, заболевали от истощения и переутомления, но эти крупные шероховатости не останавливали темп работы, и минимальный состав сотрудников с неописуемым энтузиазмом честных революционеров дисциплинированно, спаянно и сознательно стояли на своих постах и энергично выполняли ту сложную, ответственную миссию, возложенную на них волей революции“.
Много, очень много внимания уделял Ефим Георгиевич Евдокимов тому, чтобы создать сплоченный, слаженно работающий коллектив сотрудников, способных, несмотря ни на какие трудности, успешно решать нелегкие задачи. Ефим Георгиевич стремился привить молодым сотрудникам качества, которые с первых шагов существования ВЧК стали непреложным законом, принципами жизни и деятельности советских чекистов. Он требовал от своих подчинённых беззаветной преданности делу партии и народа, самоотверженности, решительности и настойчивости в достижении поставленной цели, кристальной честности и принципиальности. Он постоянно добивался, чтобы в решении любых служебных вопросов его подчиненные строго соблюдали социалистическую законность, уважительно относились к правам и интересам людей. Ему всегда импонировали люди, сочетающие самокритичность, повышенную требовательность к себе с отзывчивым и внимательным отношением к своим товарищам. Эти качества в полной мере были присущи самому Ефиму Георгиевичу Евдокимову, жизнь которого, поведение и отношение к делу являлись примером.
Профессиональный революционер, чекист Т.Д. Дерибас, знавший Е.Г. Евдокимова по совместной работе в ЧК, отмечал, что Ефима Георгиевича отличали доброе отношение к людям, решительность, железная настойчивость в проведении в жизнь намеченного. „Кроме того, — писал Т.Д. Дерибас, — работник крупный как руководитель, с несомненно большой чекистской выдержкой и опытом“.
Ефим Георгиевич ценил в людях аккуратность. Он строго следил за внешним видом своих сотрудников, говорил, что чекист должен служить во всем достойным подражания образцом, располагать к себе людей. Какое же может быть расположение и доверие к человеку, который не считает нужным гладить гимнастерку, чистить сапоги, бриться каждое утро?
Как бы подавая пример подчиненным, Евдокимов был всегда аккуратен, подтянут. Китель и гимнастерка ладно сидели на его плотной, коренастой фигуре. Он каждый день делал упражнения с гантелями, обливался холодной водой.
Много сил отдавал Ефим Георгиевич работе с недавно пришедшими в чекистские органы сотрудниками. Его сослуживцы вспоминали, как подолгу он просиживал с оперативными работниками, разбирая с ними различные операции. Особое внимание молодых сотрудников Ефим Георгиевич обращал на соблюдение конспирации.
— Противник не должен знать ничего о наших действиях, иначе все оперативные мероприятия бессмысленны, — говорил он.
Сам Ефим Георгиевич в совершенстве владел искусством конспирации, сказывался опыт революционера-подпольщика. Евдокимов любил рассказывать своим младшим товарищам, делясь этим опытом, о некоторых поучительных историях и случаях.
…Когда до революции Ефим Евдокимов был арестован за хранение листовок, в тюрьме судьба свела его с опытным подпольщиком Степаном Максимовичем Ширяевым. Узнав, при каких обстоятельствах полиция захватила молодого рабочего, он сказал;
— Как же это ты так оплошал, Ефим? В собственном столе да такие улики хранить. Просто подарок царским ищейкам. Наше дело, парень, требует большой осторожности, без этого никак не обойтись. На твоем пути будет много и ловушек, и провокаторов. А избежать провалов можно только тщательно соблюдая конспирацию. Вот послушай, я дам тебе несколько советов…
