Значимые фигуры - страница 20

В эту школу входило большое количество необычайно сведущих математиков. Парамешвара – индийский астроном, который использовал наблюдение затмений для проверки точности вычислительных методов того времени. Он оставил после себя по крайней мере 25 рукописей. Келаллур Нилаканта Сомаяджи в 1501 г. написал значительный астрономический трактат «Тантрасамграха», состоящий из 432 стихов на санскрите, объединенных в восемь глав. В частности, он включает поправки Нилаканты к теории движения Меркурия и Венеры великого индийского математика Арьябхаты. Он написал также обширный комментарий «Арьябхатия бхасья» на другой труд Арьябхаты, в котором обсуждаются алгебра, тригонометрия и бесконечные ряды для тригонометрических функций. Естхадева написал «Юктибхасу» – комментарий к «Тантрасамграхе», в который добавлены доказательства ее основных выводов. Некоторые считают этот текст первым трудом по дифференциальному исчислению. Мельпатур Нараяна Бхаттатир – математический лингвист – расширил в труде «Пркриясарвавом» аксиоматическую систему Панини из 3959 правил для санскритской грамматики. Прославился он «Нараяниямой» – похвальной песней Кришне, которая поется в Индии до сих пор.

Тригонометрия, или использование треугольников для измерения, восходит еще к древним грекам; особенно много ей занимались Гиппарх, Менелай и Птолемей. Есть две основные области применения тригонометрии в деятельности человека: топография и астрономия. (Позже к этому списку добавилась навигация.) Существенно здесь то, что расстояния зачастую трудно (а в случае астрономических тел просто невозможно) измерять непосредственно, зато углы можно измерять везде, где есть прямая видимость. Тригонометрия дает возможность вычислить длины сторон треугольника по его углам, при условии что хотя бы одна сторона известна. В топографии одна тщательно измеренная доступная база и множество углов ведут к появлению точной карты; то же, с некоторыми нюансами, относится и к астрономии.

Греки использовали в своих задачах хорду угла (см. рисунок). Гиппарх в 140 г. до н. э. составил первую таблицу хорд и пользовался ею как в плоской, так и в сферической тригонометрии. Последняя имеет дело с треугольниками, образованными дугами больших кругов на сфере, и это важно в астрономии, поскольку звезды и планеты при наблюдении с Земли кажутся лежащими на небесной сфере – воображаемой сфере, в центре которой находится Земля. Точнее говоря, направления на эти тела соответствуют точкам на любой подобной сфере. Во II в. Птолемей включил таблицы хорд в свой «Альмагест», и его результаты широко использовались на протяжении следующих 1200 лет.

Математики Древней Индии, опираясь на работы греков, добились больших успехов в тригонометрии. Они обнаружили, что удобнее использовать не хорды, а тесно связанные функции синуса (sin) и косинуса (cos), которыми мы пользуемся и сегодня. Синусы впервые появились в «Сурья сиддханта» – серии индийских астрономических текстов, датируемых примерно 400 г.; Ариабхата около 500 г. развил эту идею в своем труде «Ариабхатия». Аналогичные идеи возникли независимо и в Китае. Индийскую традицию продолжили Варахамихира, Брахмагупта и Бхаскара Ачарья, в работах которых имеются полезные аппроксимации функции синуса и некоторые базовые формулы, такие как

у Варахамихиры; по существу, это тригонометрическая интерпретация теоремы Пифагора.

До недавнего времени ученые считали, что после Бхаскара Ачарья в индийской математике наступил застой, во время которого ученые ограничивались лишь комментариями к классическим работам, и лишь после того, как Британия присоединила Индию к своей активно развивающейся империи, там появилась новая математика. Возможно, это было правдой в отношении значительной части Индии, но не в отношении Кералы. Джозеф отмечает, что «качество математики, доступной в текстах [Керальской школы] … настолько высокого уровня в сравнении с тем, что было достигнуто в классический период, что кажется невозможным, чтобы одно произошло от другого». Однако сколько-нибудь сравнимые идеи появились лишь несколькими столетиями позже в Европе, так что никакого правдоподобного «недостающего звена» разглядеть не удается. Достижения Керальской школы, судя по всему, были ее собственными.